Ensino Médio ⇒ Função Quadrática: Imagem

[demetrius]

Seja a função [tex3]f: [-2, 2] \to \mathbb{R},[/tex3] definida por [tex3]f(x) = -x^2-2x+3[/tex3]. Determine o conjunto imagem de [tex3]f.[/tex3]

Resposta:

---

[tex3]Im= [-5, 4][/tex3]

[Alexandre_SC]

Consideremos a função [tex3]g:\mathbb{R}\to\mathbb{R},[/tex3] definida por [tex3]g(x)=-x^2-2x+3.[/tex3]

Calculando os zeros de [tex3]g[/tex3] (pontos de intrerseção com o eixo [tex3]x)[/tex3] encontramos [tex3]x_1=-3[/tex3] e [tex3]x_2=1.[/tex3]

Além disso,

• [tex3]\begin{array}{rl} g(x)&=-x^2-2x+3\\
  &=-(x^2+2x-3) \\
  &=-[(x+1)^2-1 -3] \\
  &=4-(x+1)^2. \end{array}[/tex3]

Donde concluímos que [tex3]g[/tex3] assume um máximo para [tex3]x=-1.[/tex3] Este máximo vale [tex3]4.[/tex3] Podemos então fazer o esboço do gráfico de [tex3]g:[/tex3]

AD17.png (8.35 KiB) Exibido 858 vezes

Observando que o gráfico de [tex3]f[/tex3] coincide com o gráfico de [tex3]g[/tex3] para [tex3]x \in [-2,2],[/tex3] concluímos que a imagem de [tex3]f[/tex3] é o intervalo [tex3][f(2),4].[/tex3] Como [tex3]f(2)=-2^2-2\cdot 2+3=-5, \text{ } Im_f=[-5,2].[/tex3]