Pré-Vestibular ⇒ (E. E. Santa Ursula - 1971) Função Trigonométrica

[ALDRINMOD]

Sendo [tex3]f(x)=\sen x +\cos x [/tex3], calcule [tex3]f(15^\circ)[/tex3]

Resposta

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[tex3]f(15^\circ)=\pm\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt3}}{2}[/tex3]

[fabit]

Sejam [tex3]F=f(15^\circ)[/tex3], [tex3]S=\sin(15^\circ)[/tex3] e [tex3]C=\cos(15^\circ)[/tex3]. Temos [tex3]F=S+C[/tex3] e como 15 graus está no primeiro quadrante, F é positivo.

Eleva-se ao quadrado [tex3]F^2=S^2+2.S.C+C^2[/tex3]. Como [tex3]S^2+C^2=1[/tex3], temos

[tex3]F^2=1+2SC[/tex3]. Lembrando que [tex3]2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)[/tex3], logo vemos que [tex3]2SC=\sin(30^\circ)=\frac{1}{2}[/tex3]

Então [tex3]F=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3]

Pode até ser que essa resposta do gabarito dê igual à minha SEM O SINAL DE [tex3]\pm[/tex3]!!!

Pode tirar esse "mais ou menos" sem medo de ser feliz, pois, como disse antes, F é positivo porque 15 graus é de primeiro quadrante, e assim tanto o seno como o cosseno são positivos.

[ALDRINMOD]

Eu tenho a seguinte resolução:

[tex3]f(x)=f(15^\circ) \Rightarrow f\(\frac{30^\circ}{2}\)[/tex3]

[tex3]f(x)=\sen x +\cos x \Rightarrow f\(\frac{30^\circ}{2}\)=\sen \frac{30^\circ}{2}+\cos\frac{30^\circ}{2}[/tex3]

Substituindo [tex3]\sen x [/tex3] e [tex3]\cos x [/tex3] em função do arco metade, ou seja,

[tex3]\sen \frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x }{2}} ; \cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x }{2}}[/tex3]

e tendo em vista que [tex3]\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3], teremos

[tex3]f\(\frac{30^\circ}{2}\)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}} \pm\sqrt{\frac{1+\cos 30^\circ}{2}}[/tex3]

[tex3]f\(\frac{30^\circ}{2}\)=\pm\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} \pm\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}[/tex3]

Operando, vem:

[tex3]\boxed{f(15^\circ)=\pm\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt3}}{2}}[/tex3]

[fabit]

[tex3]f\(\frac{30^\circ}{2}\)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos 30^\circ}{2}} \pm\sqrt{\frac{1+\cos 30^\circ}{2}}[/tex3]

O de [tex3]\pm[/tex3] é só quando não se sabe o quadrante.

Seno de 30 não é "0,5 OU -0,5". É 0,5 e pronto.

Operando, vem:

[tex3]\boxed{f(15^\circ)=\pm\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt3}}{2}}[/tex3]

A resposta fica [tex3]\boxed{f(15^\circ)=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt3}}{2}}[/tex3], que equivale a [tex3]\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex3] por meio da fórmula de redução de radicais duplos [tex3]\sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-c}{2}}[/tex3] onde [tex3]c=a^2-b[/tex3]

Era discursiva ou múltipla escolha?

[ALDRINMOD]

Era discursiva,

eu não disse que sua resolução está errada, pois o Adriano Tavares também resolveu do seu jeito (corretamente).

Abraço.

[fabit]

Relaxa. Eu sei que não disse. (Eu, porém, disse! )