Pré-Vestibular ⇒ (UNIFEI - 2008) Equação do Segundo Grau

[Luiz]

Olá,

Uma equação do segundo grau com coeficientes inteiros da forma [tex3]ax^2+bx+c =0[/tex3] possui a maior de suas raízes igual a [tex3](5+ \sqrt{3})[/tex3] e o termo independente é [tex3]66[/tex3]. Então o valor de [tex3]a^2+b^2[/tex3] é:

A) [tex3]686[/tex3].
B) [tex3]754[/tex3].
C) [tex3]875[/tex3].
D) [tex3]909[/tex3].
E) [tex3]972[/tex3].


Tentativa :
Equações possíveis para serem trabalhadas:
(5 + [tex3]\sqrt[2]{3}[/tex3]) + X2 = -b/a
(5 + [tex3]\sqrt[2]{3}[/tex3]) X2 = 66/a
a(5 + [tex3]\sqrt[2]{3}[/tex3])^2 + b(5 + [tex3]\sqrt[2]{3}[/tex3]) + 66 = 0

[fabit]

Foi dado de cara que [tex3]c=66[/tex3] e que [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] também são inteiros.

Logo, tanto a soma [tex3]{-}b/a[/tex3] como o produto [tex3]c/a[/tex3] são racionais e aí conclui-se facilmente que a outra raiz é [tex3]5-\sqrt{3}[/tex3]

Assim, a soma é [tex3]10[/tex3] e o produto é [tex3]\(5+\sqrt{3}\)\(5-\sqrt{3}\)=25-3=22[/tex3]

Como [tex3]c=66[/tex3], temos o produto [tex3]22=\frac{66}{a}\Rightarrow a=3[/tex3]

Usando a soma pra descobrir o [tex3]b:[/tex3] [tex3]10=\frac{-b}{3}\Rightarrow b=-30[/tex3]

Finalmente, [tex3]a^2+b^2=9+900=\boxed{909}[/tex3].

[Luiz]

Muito Obrigado!
Ajudou muito!