Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Goiás -1999) Geometria Plana Tópico resolvido

[Marcos]

Seja ABC um triângulo qualquer e AH a altura em relação ao lado BC. Seja M e N os pontos médios dos lados AB e AC respectivamente. O ângulo MHN é igual a:

a) 2A
b) 3A
c) A
d) A/2

Resp:(C).

DESDE JÁ AGRADEÇO A AJUDA!

[fabit]

Faça a figura e acompanhe o seguinte:

A altura AH decompõe os ângulos MAN e MHN assim: [tex3](I)\begin{cases}M\hat{A}N=M\hat{A}H+H\hat{A}N\\M\hat{H}N=M\hat{H}A+A\hat{H}N\end{cases}[/tex3]

Sendo M médio de AB e ABH um triângulo retângulo em H, MH é mediana relativa à hipotenusa AB e portanto é o raio do semicírculo de diâmetro AB no qual ABH está inscrito. Isso é só pra concluir que MA=MH e portanto AMH é isósceles.

Raciocínio análogo permite concluir que ANH é isósceles com AN=NH.

Agora perceba que MN é base média do triângulo e, portanto, é paralela a BC e assim fica perpendicular à altura AH, formando ângulos retos no ponto em que MN e AH se cruzam. Pelas conclusões anteriores, vemos que MN é MEDIATRIZ de AH e assim os triângulos isósceles ficam subdivididos em pares de triângulos retângulos congruentes.

Disso se extrai a informação de que [tex3](II)\begin{cases}M\hat{A}H=M\hat{H}A\\H\hat{A}N=A\hat{H}N\end{cases}[/tex3].

Substituindo (II) em (I) demonstra-se o que se queria.

[Marcos]

Caro fabit agradeço pela solução!