Pré-Vestibular ⇒ (UNIRIO-RJ) Progressão Aritmética Tópico resolvido

[murilonves]

Os lados de um triângulo retângulo estão em [tex3]PA[/tex3]. Sabendo-se que o perímetro mede [tex3]57\text{ cm}[/tex3], podemos afirmar que o maior cateto mede:

a) [tex3]17\text{ cm}[/tex3].
b) [tex3]19\text{ cm}[/tex3].
c) [tex3]20\text{ cm}[/tex3].
d) [tex3]23\text{ cm}[/tex3].
e) [tex3]27\text{ cm}[/tex3].

[hygorvv]

Os lados de um triângulo retângulo estão em [tex3]PA[/tex3]. Sabendo-se que o perímetro mede [tex3]57\text{ cm}[/tex3], podemos afirmar que o maior cateto mede:

a) [tex3]17\text{ cm}[/tex3].
b) [tex3]19\text{ cm}[/tex3].
c) [tex3]20\text{ cm}[/tex3].
d) [tex3]23\text{ cm}[/tex3].
e) [tex3]27\text{ cm}[/tex3].

[tex3]PA(x-r ; x ; x+r)[/tex3]
como o perimetro vale [tex3]57[/tex3] cm, temos
[tex3]x-r+x+x+r=57[/tex3]
[tex3]3x=57[/tex3]
[tex3]x=19cm[/tex3]

como o triangulo é retangulo, temos:
[tex3](x+r)^2=x^2+(x-r)^2[/tex3]
[tex3](19+r)^2=19^2 + (19-r)^2[/tex3]
resolve, encontra [tex3]r[/tex3]
o maior lado é o [tex3](19+r)[/tex3], substitui e ve quanto da

[murilonves]

Também encontrei [tex3](19 + r)[/tex3] mais é agora como vou saber se o maior cateto [tex3]20cm[/tex3] ou [tex3]23cm[/tex3] ou [tex3]27cm[/tex3]?

[hygorvv]

Note que temos um triângulo retângulo
entao, os lados sao proporcionais a [tex3]3k[/tex3], [tex3]4k[/tex3], [tex3]5k[/tex3]
onde [tex3]k[/tex3] é a constante de proporção
temos ainda, o valor do maior cateto(nao a hipotenusa)
que vale [tex3]19 (x=19)[/tex3]
entao
[tex3]4k=19[/tex3]
[tex3]k=\frac{19}{4}[/tex3]

para descobrir o menor cateto
menor cateto=[tex3]3k[/tex3]
[tex3]3k=3\cdot \frac{19}{4}[/tex3]
[tex3]3k=\frac{95}{4}[/tex3]
[tex3]3k\approx23[/tex3] cm

espero que seja isso

[Fantini]

Boa noite.

[tex3](19+r)[/tex3] é a hipotenusa certo? Então devemos esquecer.

[tex3]19[/tex3] e [tex3](19-r)[/tex3] são os catetos, e o maior deles é 19. Se não me engano, a pergunta pede o maior cateto e não a hipotenusa.

[...], podemos afirmar que o maior cateto mede: [...]

Portanto, acho que a resposta seria letra B. Caso a pergunta seja a hipotenusa, seria algo próximo de 23 cm, pois o valor que encontrei para r foi: [tex3]r=4,75[/tex3].

Um abraço.

P.S.: A propósito Hygor, só porque é um triângulo retângulo não significa que os lados sejam proporcionais a 3, 4 e 5.

[murilonves]

vlw Fantini, hygorvv E o maior cateto concerteza sera [tex3]19 cm[/tex3], po exercicio mais simples que eu pensava, dexei de lado o maior cateto e tava querendo achar a hipotenusa.

[fabit]

Fantini, é [tex3]3k-4k-5k[/tex3] por causa do Pitágoras, mas é preciso fazer a conta, pois não é óbvio enxergar isso:

De modo geral a hipotenusa é c+r e os catetos são [tex3]c[/tex3] e [tex3]c-r[/tex3]:
[tex3]\(c+r\)^2=c^2+\(c-r\)^2\Rightarrow\cancel{c^2}+2cr+\cancel{r^2}=\cancel{c^2}+c^2-2cr+\cancel{r^2}[/tex3]

[tex3]4cr=c^2\Rightarrow4r=c[/tex3]

Substituindo, o triângulo fica com lados [tex3]4r+r[/tex3], [tex3]4r[/tex3] e [tex3]4r-r[/tex3], ou seja, [tex3]5r[/tex3], [tex3]4r[/tex3] e [tex3]3r[/tex3].

[hygorvv]

P.S.: A propósito Hygor, só porque é um triângulo retângulo não significa que os lados sejam proporcionais a 3, 4 e 5.

errado, sempre serao proporcionais.

eu só vacilei tentando achar o menor cateto
mas se voce ver
a constante de proporçao que achei foi [tex3]\frac{19}{4}[/tex3]
o maior cateto será [tex3]4k[/tex3]
entao
[tex3]k=\frac{19}{4} \to 4k=19[/tex3] cm

perdao pelo erro

[Fantini]

Fabit, sim, depois de rever as contas percebi que nesse caso os lados são proporcionais a 3, 4 e 5.

Hygor, o que você está dizendo é que para qualquer triângulo retângulo todos os lados são proporcionais a 3, 4 e 5? Gostaria de ver uma prova, se é isso mesmo.

Fico feliz de ter ajudado, Murilo.

Um abraço.

[mascena]

Estando os lados do triângulo em PA podemos escrevê-los como x – r, x e x + r cuja soma (perímetro) vale 57, ou seja, x – r + x + r + x = 57, ou 3x = 57 ou x = 19. Como o triângulo é retângulo, vale o teorema de Pitágoras: (19 + r)^2 = (19 – r)^2 + 361 ou seja: 361 + 38r + r2 = 361 - 38r + r2 + 361, fazendo as devidas simplificações temos que 76r = 361 ou r = 4,75. Assim os lados do triângulo para que a soma seja 57 e que o mesmo retângulo são: 14,25; 19 e 23,75.
Portanto o maior cateto e 19, letra “b”

espero que tenha entendido, qualquer mande email para [email protected] e visite www.mascenacordeiro.com.br
sucesso nos seus estudos.