Pré-Vestibular ⇒ (UECE-2010 1ª FASE) Trigonometria

[jose carlos de almeida]

Se [tex3]n[/tex3] é o numero de soluções da equação [tex3]cos^4(x) - 4cos^3(x) + 6cos^2(x) - 4cos(x) + 1 = 0[/tex3], no intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3], então o valor de [tex3]n[/tex3] é:

a) [tex3]1[/tex3].
b) [tex3]2[/tex3].
c) [tex3]3[/tex3].
d) [tex3]4[/tex3].

[hygorvv]

Se [tex3]n[/tex3] é o numero de soluções da equação [tex3]cos^4(x) - 4cos^3(x) + 6cos^2(x) - 4cos(x) + 1 = 0[/tex3], no intervalo [tex3][0,2\pi][/tex3], então o valor de [tex3]n[/tex3] é:

a) [tex3]1[/tex3].
b) [tex3]2[/tex3].
c) [tex3]3[/tex3].
d) [tex3]4[/tex3].

divide todos os termos por [tex3]cos^2(x)[/tex3]
[tex3]cos^2(x) -4cos(x)+6-\frac{4}{cos(x)} + \frac{1}{cos^2(x)}=0[/tex3]
[tex3][cos^2(x)+\frac{1}{cos^2(x)}] - 4(cos(x)+\frac{1}{cos(x)})+6=0[/tex3]
fazendo [tex3]cos(x)+\frac{1}{cos(x)}=y[/tex3]
temos que
[tex3](cos(x)+\frac{1}{cos(x)})^2=y^2[/tex3]
[tex3]cos^2(x)+2+\frac{1}{cos^2(x)}=y^2[/tex3]
[tex3]cos^2(x)+\frac{1}{cos^2(x)}=y^{2}-2[/tex3]
substituindo, temos:
[tex3]y^{2} -4y+4=0[/tex3]
[tex3]\Delta=0[/tex3]
[tex3]y'=y''=2[/tex3]
entao
[tex3]cos(x) + \frac{1}{cos(x)}=2[/tex3]
[tex3]cos(x)^2-2cos(x)+1=0[/tex3]
como a soma dos coeficientes vale zero, temos que [tex3]1[/tex3] é raiz
por girard, [tex3]x1+x2=2[/tex3]
[tex3]1+x2=2[/tex3]
[tex3]x2=1[/tex3]

logo, temos [tex3]n=2[/tex3]

espero que seja isso

[Fantini]

Boa noite.

Achei mais fácil simplesmente fechar em binômio:

[tex3](\cos x -1)^{4} = 0[/tex3]

Portanto, tem quatro soluções, todas iguais a 1.

Um abraço.

[hygorvv]

Boa noite.

Achei mais fácil simplesmente fechar em binômio:

[tex3](\cos x -1)^{4} = 0[/tex3]

Portanto, tem quatro soluções, todas iguais a 1.

Um abraço.

bem visto cara, nao tinha visualizado isso!!!

mas só um detalhe
[tex3](cos(x) -1)^4=0 \to cos(x)=1[/tex3]
no intervalo de [tex3][0,2\pi][/tex3] temos somente duas soluçoes
[tex3]x=0[/tex3] ou [tex3]x=2\pi[/tex3]

espero que seja isso ;]