Pré-Vestibular ⇒ (UFMT) Progressão Geométrica

[murilonves]

Seja uma sequência de triângulos equiláteros em que cada triângulo, a partir do segundo, possui metade da área do anterior. Se o primeiro triângulo tem lado [tex3]L[/tex3], assinale a alternativa que representa o perímetro do [tex3]nono[/tex3] triângulo

a)[tex3]\frac{L}{2}[/tex3]
b)[tex3]\frac{3L}{2}[/tex3]
c)[tex3]\frac{3L}{4}[/tex3]
d)[tex3]\frac{3L}{8}[/tex3]
e)[tex3]\frac{3L}{16}[/tex3]

[hygorvv]

Seja uma sequência de triângulos equiláteros em que cada triângulo, a partir do segundo, possui metade da área do anterior. Se o primeiro triângulo tem lado [tex3]L[/tex3], assinale a alternativa que representa o perímetro do [tex3]nono[/tex3] triângulo

a)[tex3]\frac{L}{2}[/tex3]
b)[tex3]\frac{3L}{2}[/tex3]
c)[tex3]\frac{3L}{4}[/tex3]
d)[tex3]\frac{3L}{8}[/tex3]
e)[tex3]\frac{3L}{16}[/tex3]

temos uma PG de razao [tex3]<1[/tex3]
vejamos
[tex3]a_1=\frac{L^{2}\cdot \sqrt{3}}{4}[/tex3]
[tex3]a_2=\frac{L^{2}\cdot \sqrt{3}}{8}[/tex3]
...
temos um uma PG de razao [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]a_9=a_1\cdot q^{n-1}[/tex3]
[tex3]a_9=\frac{L^{2}\cdot \sqrt{3}}{4} . \frac{1}{2}^{8}[/tex3]
[tex3]a_9=\frac{L^{2}\cdot \sqrt{3}}{2^{10}}[/tex3]

como a área do triangulo é dada por
[tex3]S=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex3]
temos que
[tex3]l[/tex3] é o lado do nono triangulo
[tex3]\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{L^{2}\cdot \sqrt{3}}{2^{10}}[/tex3]
[tex3]\frac{l^{2}\sqrt{3}}{2^{2}}=\frac{L^{2}\cdot \sqrt{3}}{2^{10}}[/tex3]
[tex3]l=\frac{L}{2^4}[/tex3]

o perímetro([tex3]2p[/tex3]) é dado por
[tex3]2p=3l[/tex3]
[tex3]2p=3\cdot \frac{L}{2^4}[/tex3]
[tex3]\boxed{2p=3\cdot \frac{L}{16}}[/tex3]

espero que seja isso