IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1983) Geometria Plana: Área de um Triângulo Tópico resolvido

[Flavio2008]

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Na figura: [tex3]\overline{AC}=3\overline{AF}[/tex3] e [tex3]\overline{BC}=3\overline{CE}[/tex3] sendo [tex3]S[/tex3] a área do triângulo [tex3]ABC,[/tex3] a área do triângulo [tex3]AGF[/tex3] é :

a) [tex3]\frac{S}{3}[/tex3]
b) [tex3]\frac{S}{7}[/tex3]
c) [tex3]\frac{S}{9}[/tex3]
d) [tex3]\frac{S}{21}[/tex3]
e) [tex3]\frac{S}{18}[/tex3]

[bigjohn]

Podemos aplicar o teorema de Menelaus para encontrar a relação entre [tex3]BG[/tex3] e [tex3]GF.[/tex3]

• [tex3]\frac{\overline{BE}\cdot\overline{GF}\cdot\overline{AC}}{\overline{BG}\cdot\overline{EC}\cdot\overline{AF}}=1[/tex3]

Sabemos que [tex3]\frac{\overline{AC}}{\overline{AF}}=3[/tex3] e [tex3]\frac{\overline{BC}}{CE}=3.[/tex3] Logo,

• [tex3]\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}=2[/tex3]

Novamente por Menelaus,

• [tex3]\frac{2\cdot \overline{GF}\cdot 3}{\overline{BG}}=1\Longrightarrow \frac{\overline{GF}}{\overline{BG}}=\frac 16.[/tex3]

Portanto, a área do [tex3]\triangle AGF[/tex3] é [tex3]\frac 17[/tex3] da área do [tex3]\triangle ABF[/tex3] que é [tex3]\frac 13[/tex3] de [tex3]S:[/tex3]

• [tex3][AGF]=\frac 17\cdot \frac S3=\frac{S}{21}[/tex3]