IME / ITA ⇒ (Escola de Aeronáutica - 1952) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Escreva a expressão que torna logarítmica a soma [tex3]cos\alpha+\cos\beta[/tex3].

Resposta

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[tex3]2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}.\cos\frac{\alpha-\beta}{2}[/tex3].

[fabit]

Desconheço esse adjetivo "logarítmica" para uma expressão sem logs. Só porque fica um monômio? Juro que nunca ouvi falar disso.

Em todo caso, pra não ficar sem resposta, é uma demonstração bem manjada:

Sejam [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] tais que [tex3]p+q=\alpha[/tex3] e [tex3]p-q=\beta[/tex3]. Resolvendo o sistema [tex3]\begin{cases}p+q=\alpha\\p-q=\beta\end{cases}[/tex3], encontramos os valores corretos de [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] em função de [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3]: [tex3]\begin{cases}p=\frac{\alpha+\beta}{2}\\q=\frac{\alpha-\beta}{2}\end{cases}[/tex3].

Partindo das identidades [tex3]\begin{cases}\cos(p+q)=\cos p\cos q-\sin p\sin q\\\cos(p-q)=\cos p\cos q+\sin p\sin q\end{cases}[/tex3], somando membro a membro, ficamos com [tex3]\cos(p+q)+\cos(p-q)=2\cos p\cos q[/tex3]. Eliminando essas variáveis auxiliares para retornar às fornecidas, isso fica [tex3]\boxed{\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}[/tex3].

Se não puder utilizar a identidade sem demonstrá-la, aí é outro tópico.