Olimpíadas ⇒ (OPM - 2006) Múltiplos e Quadrados Perfeitos

[dettymp]

(OPM - 2006) Escreve-se em ordem crescente cada múltiplo de [tex3]3[/tex3] cuja soma com o número [tex3]1[/tex3] é um quadrado perfeito:

[tex3]3;\, 15;\, 24;\, 48[/tex3]

Qual é o múltiplo na posição [tex3]2006^\circ[/tex3]?

[Cássio]

Bem, como a questão pede os números que somados 1 seja um quadrado perfeito, podemos deduzir que esses quadrados não são múltiplos de 3. Como todo quadrado perfeito não múltiplo de 3 é côngruo 1 mod 3, logo, concluimos que todos os quadrados não múltiplos de 3 são da forma [tex3]3n+1[/tex3].

repare que entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]k[/tex3] existem [tex3]k[/tex3] números, no qual [tex3]\left[\dfrac{k}{3}\right][/tex3] são múltiplos de 3 (onde representa [tex3]\left[\dfrac{a}{b}\right][/tex3] o quociente inteiro da divisão de [tex3]a[/tex3] por [tex3]b[/tex3]).

Logo, entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]k^2[/tex3] existem [tex3]k[/tex3] quadrados perfeitos, dos quais, [tex3]\left[\dfrac{k}{3}\right][/tex3] são múltiplos de 3. Sendo assim, teremos [tex3]k-\left[\dfrac{k}{3}\right][/tex3] quadrados da forma [tex3]3n+1.[/tex3]

Então pelo meu raciocínio, temos que encontrar um [tex3]x[/tex3], tal que:

[tex3]x-\dfrac{x}{3}=2006\Longrightarrow[/tex3]

[tex3]x=3009[/tex3]

Como pelas idéias anteriores, entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]3009^2[/tex3] temos [tex3]3009[/tex3] quadrados perfeitos, . Dos quais [tex3]1003[/tex3] são múltiplos de [tex3]3[/tex3] e [tex3]2006[/tex3] não múltiplos. Logo, entre [tex3]3[/tex3] e [tex3]3009^2[/tex3] temos [tex3]2005[/tex3] quadrados não múltiplos de [tex3]3[/tex3]. Mas como [tex3]3009^2[/tex3] é múltiplo de 3, temos que considerar o menor quadrado maior que [tex3]3009^2[/tex3] que é [tex3]3010^2[/tex3].

Daí que o número que ocupa a 2006º posição é [tex3]3010^2-1.[/tex3] :