IME / ITA ⇒ (IME) Matriz/Determinante

[hygorvv]

Calcule o determinante da matriz [tex3]nxn[/tex3] que possui zeros na diagonal secundária e todos os outros elementos iguais a [tex3]1[/tex3].

Resposta

---

[tex3]\frac{(-1)^{n(n-1)}}{2(n-1)}[/tex3]

[hygorvv]

up!

[fabit]

Tô tentando...

Pode ser que requeira recorrências ou indução finita.

A ver...

[hygorvv]

se conseguir usando PIF, fique a vontade para postar :}

aguardando...

[fabit]

Chamei de [tex3]A_n[/tex3] o determinante procurado, e achei a fórmula

[tex3]A_n=2.(-1)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\{3-n+(n+1).(-1)^{(n+1)}\}[/tex3], válida para [tex3]n\geq2[/tex3].

onde [tex3]\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor[/tex3] denota a parte inteira da fração em questão.

Testem pra ver se A2 dá 1, A3 dá -2, A4 dá -3, etc.

Ainda não sei se funciona. Se funcionar eu mostro como cheguei nela.

[hygorvv]

eu tentei manipular pelo teorema de jacobi e pelo teorema de laplace, não vingou, estava pensando em tentar pela regra de chió
que dará uma matriz de ordem [tex3](n-1)x(n-1)[/tex3]
que terá zero nas linhas e colunas que antes tinham [tex3]1[/tex3] e onde tinha [tex3]0[/tex3] vira [tex3]{-}1[/tex3]
mas ai nao consegui achar uma sequencia :~

[fabit]

Leve correção na minha fórmula: aquele 2 que está à frente não é pra multiplicar mas sim pra dividir tudo:

[tex3]A_n=\frac{(-1)^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\{3-n+(n+1).(-1)^{(n+1)}\}}{2};\forall n\geq2[/tex3]

gera a sequência [tex3](A_2;A_3;A_4;...)=(1;-2;-3;2;5;-2;-7;2;9;-2;-11;...)[/tex3]

Amanhã vou testar se é isso mesmo.

[fabit]

Putz, na prova real o A5 deu 4 e não 2.

Talvez a sequência seja (1,-2,-3,4,5,-6,-7,8,9,...).

Vou ter que refazer...

A boa notícia é que, se for isso, a fórmula é mais simples do que a que postei para a sequência (1,-2,-3,2,5,-2,-7,2,9,...).

[fabit]

Agora é definitivo. Botei no Excel pra testar e obtive a sequência (1,-2,-3,4,5,-6,-7,8,9,-10,-11,...), cuja lei é:
[tex3]A_n=(1-n).(-1)^{\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor};\forall n\geq2[/tex3]

[tex3]A_2=(1-2).(-1)^1=1[/tex3]
[tex3]A_3=(1-3).(-1)^2=-2[/tex3]
[tex3]A_4=(1-4).(-1)^2=-3[/tex3]
[tex3]A_5=(1-5).(-1)^3=4[/tex3]
[tex3]A_6=(1-6).(-1)^3=5[/tex3]

A dedução ainda não refiz, mas não é por indução e sim por recorrências, sendo n par e n ímpar tratados isoladamente. Foi por isso que meu erro havia afetado apenas "metade" da sequência.

[hygorvv]

mas a resposta está la fabit, e nao condiz.
a resposta é [tex3]\forall n>0[/tex3]
ja testei e funciona a expressão do gabarito
se for a mesma coisa que tu fez, me perdoe, compreendi mal