Pré-Vestibular ⇒ (POLI) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

No intervalo [tex3]0 \leq x \leq 2\pi[/tex3], o número de soluções da equação trigonométrica [tex3]cos^9x+cos^8x+cos^7x+ ... +cosx+1=0[/tex3]:

a) é zero.
b) é um.
c) é dois.
d) é quatro.
e) nenhuma das anteriores.

Resposta

---

b

[hygorvv]

Note que temos uma [tex3]PG[/tex3] de razão [tex3]cos(x)[/tex3]
temos a soma dos [tex3]10[/tex3] primeiros termos, podemos escrever assim:

[tex3]cos^9x+cos^8x+cos^7x+ ... +cosx+1=\frac{1(cos^{10}(x) -1)}{cos(x)-1}[/tex3]
[tex3]\frac{1(cos^{10}(x) -1)}{cos(x)-1}=0[/tex3]
[tex3]cos^{10}(x)-1=0[/tex3]
[tex3]cos^{10}(x)=1[/tex3]
[tex3]cos(x)=1[/tex3]
para o intervalo, temos 2 soluçoes
espero que seja isso

[Fantini]

Hygor, isso não significa que o denominador na soma é zero então?

[fabit]

A expressão da soma só fica igual a [tex3]\frac{1(\cos^{10}(x)-1)}{\cos(x)-1}[/tex3] se o denominador não zerar, que é quando o cosseno dá 1. Esse caso, portanto, deve ser tratado separadamente.

Na equação original, se o cosseno for substituido por 1, ela fica claramente falsa. Daí descartamos esse caso e trabalhamos tranquilamente com [tex3]\cos^{10}x-1=0[/tex3], que conduz a [tex3]\cos^{10}x=1[/tex3].

Até aí hygorvv foi bem. Mas depois errou. Fora de contexto, essa última equivale a [tex3]\cos(x)=\pm1[/tex3]. Porém, dentro do contexto em que já descartamos o 1, sobra o -1 e a solução passa por [tex3]\cos(x)=-1[/tex3] cuja imagem está no ponto do ciclo correspondente a [tex3]x=\pi[/tex3].

No intervalo dado, só há um valor. Letra B.

Fantini, pra ser zero o denominador, é justamente o caso do cosseno ser 1, que não pode.

[Fantini]

Foi isso o que eu quis dizer. Com a resposta única de que [tex3]cosx =1[/tex3], zeraria o denominador na soma.

[hygorvv]

fui com muita sede ao pote
valeu fabit