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Sabe-se que [tex3]f(b+2)\,=\,b^5[/tex3]. Encontre o desenvolvimento de [tex3]f[/tex3].

Atenciosamente
olgario

Olá amigo não sei se entendi bem, mas vamos lá:

[tex3]f(b+2)=b^5[/tex3]
[tex3]f(b+2)=(b+2)^5[/tex3]
[tex3]f(b+2)=(b+2)^2.(b+2)^3[/tex3]
[tex3]f(b+2)=(b^2+4b+4).(b+2)^2.(b+2)[/tex3]
[tex3]f(b+2)=(b^2+4b+b).(b^2+4b+4).(b+2)[/tex3]
[tex3]f(b+2)=(b^2+4b+4).(b^3+6b^2+12b+8)[/tex3]
[tex3]f(b+2)=b^5+10b^4+40b^3+80b^2+80b+32[/tex3]

Qualquer dúvida posta aí.

Olá cognicível.
O manual de onde tirei a questão, dá como solução:

[tex3]a^5\,-10a^4\,-40a^3\,-80a^2\,+80a\,-32\,.[/tex3]

Quanto à variável ser a letra [tex3]a\,\,[/tex3] é uma mera formalidade. Quanto aos sinais, deve ter havido qualquer engano aquando da resolução.
Quanto aos valores, como pode constatar estão certos.

Resolvendo a questão, [tex3]f(b+2)\,=\,b^5[/tex3]

Chamando [tex3]x=b+2[/tex3], então [tex3]b=x-2[/tex3]. Trocando na função:

[tex3]f(x)=(x-2)^5[/tex3]

usando o binômio de newton:

[tex3]f(x)=x^5-5x^42^1+10x^32^2-10x^22^3+5x^12^4-2^5 \\\\ \boxed{f(x)=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32}[/tex3]