Estude! Com Prof. Caju

O número [tex3]\frac{1}{\sqrt[4]{2\sqrt{2} + 3}}[/tex3] é igual a :

a ) [tex3]\sqrt{\sqrt{2} + 1}[/tex3]
b ) [tex3]\sqrt{\sqrt{2} + 2}[/tex3]
c ) [tex3]\sqrt{\sqrt{2} - 1}[/tex3]
d ) [tex3]\sqrt{\sqrt{2} - 2}[/tex3]
e ) [tex3]\sqrt {1 - {\sqrt{2}}}[/tex3]

Tem que usar a fórmula [tex3]\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}[/tex3] onde [tex3]C=\sqrt{A^2-B}[/tex3].

Antes, porém, vou transformar [tex3]2\sqrt{2}=\sqrt{8}[/tex3] e racionalizar a expressão fornecida:

[tex3]\frac{1}{\sqrt[4]{3+\sqrt{8}}}\times\frac{\sqrt[4]{3-\sqrt{8}}}{\sqrt[4]{3-\sqrt{8}}}=\frac{\sqrt[4]{3-\sqrt{8}}}{\sqrt[4]{9-8}}=\sqrt[4]{3-\sqrt{8}}[/tex3]

Como raiz quarta é raiz de raiz, isso fica:

[tex3]\sqrt{\sqrt{3-\sqrt{8}}}=\sqrt{\sqrt{\frac{3+C}{2}}-\sqrt{\frac{3-C}{2}}}[/tex3] onde [tex3]C=\sqrt{3^2-8}=1[/tex3]

[tex3]\sqrt{\sqrt{3-\sqrt{8}}}=\sqrt{\sqrt{2}-1}[/tex3] Letra C