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Na figura abaixo tem-se que AD=BC=6cm, BÂD +ABC=120 graus, P ponto médio de AC, Q ponto médio de BD e R ponto médio de CD. Determine o perímetro do triângulo PQR.

a) 3cm
b) 6cm
c) 9cm
d) 12cm

Olá companheiros(as) do fórum do TutorBrasil.Compartilho o meu raciocínio com os senhores!
[tex3]\blacktriangleright AD=BC=6 \ cm[/tex3];
[tex3]\blacktriangleright \angle BAD +\angle ABC=120º[/tex3] e
[tex3]\blacktriangleright P[/tex3] ponto médio de [tex3]AC,\, Q[/tex3] ponto médio de [tex3]BD[/tex3] e [tex3]R[/tex3] ponto médio de [tex3]CD[/tex3].

[tex3]\leadsto\,P,Q[/tex3] e [tex3]R[/tex3] são pontos médios, então [tex3]RQ[/tex3] é base média do [tex3]\triangle_{BCD}[/tex3], então [tex3]RQ=3 \ cm [/tex3] analogamente [tex3]PR[/tex3] é base média do [tex3]\triangle_{DCA}[/tex3], portanto [tex3]PR=3 \ cm [/tex3].
[tex3]\leadsto[/tex3] Chame o ponto médio de [tex3]AB[/tex3] de [tex3]M[/tex3], ligue [tex3]M[/tex3] a [tex3]P[/tex3], e [tex3]Q[/tex3].Como [tex3]M[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] são pontos médios [tex3]\triangle_{DBA}[/tex3],logo [tex3]MQ[/tex3] é base média do [tex3]\triangle_{DBA}[/tex3], e além disso é paralelo ao lado [tex3]DA[/tex3], portanto [tex3]\angle BMQ=\alpha[/tex3] e [tex3]MQ=3 \ cm [/tex3].Da mesma forma [tex3]PM[/tex3] é base média do [tex3]\triangle_{CBA}[/tex3] mede [tex3]3 \ cm[/tex3] e [tex3]\angle AMP=\beta[/tex3], porque [tex3]PM[/tex3] é base média paralela a [tex3]BC[/tex3].
[tex3]\leadsto[/tex3] Como [tex3]\angle BAD +\angle ABC=120º\rightarrow \alpha+ \theta =120^o[/tex3], então o ângulo [tex3]PMQ=60^o[/tex3] e o [tex3]\triangle_{PMQ}[/tex3] é equilátero.

[tex3]\blacktriangleright[/tex3] Determine o perímetro do triângulo [tex3]PQR[/tex3].

[tex3]2p_{PQR}=3+3+3=\boxed{\boxed{9 \ cm}}\Longrightarrow Letra: (C)[/tex3]

Resposta: [tex3]C[/tex3].