Estude! Com Prof. Caju

Calcular:

• [tex3]1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \ldots + 99^2 - 100^2[/tex3]

• [tex3]1^2- 2^2=1 - 4 = -3\\3^2 - 4^2= 9 - 16 = -7\\5^2-6^2=25-36=-11\\ \ldots \\99^2-100^2=(99+100)\cdot (99-100)=(199)\cdot (-1)=-199[/tex3]

Temos uma PA com [tex3]r=-4,\text{ } a_1= -3[/tex3] e [tex3]a_n=-199[/tex3]

• [tex3]a_n=a_1+(n-1)\cdot r\Rightarrow -199=-3+(n-1)\cdot (-4)\Rightarrow n=50[/tex3]

A soma dos termos dessa PA é dada por

• [tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex3]
  
  [tex3]S_{50}=\frac{(-3-199)\cdot 50}{2}= -5050[/tex3]

Temos as progressões [tex3](1^2 ,3^2 ,5^2 ,\ldots,99^2 ),[/tex3] cujo termo geral é [tex3]a_k = (2k - 1)^2 = 4k^2 - 4k + 1[/tex3] e [tex3](2^2 ,4^2 ,6^2 ,\ldots ,100^2 ),[/tex3] cujo termo geral é [tex3]b_k = (2k)^2 = 4k^2,[/tex3] ambas com [tex3]50[/tex3] termos.

Então, a soma pedida é:

• [tex3]\sum_{k = 1}^{50} a_k - \sum_{k = 1}^{50} b_k = - 4\sum_{k = 1}^{50} k + \sum_{k = 1}^{50} 1 = - 4 \cdot \frac{50 \cdot (50 + 1)}{2} + 50 = - 5100 + 50 = - 5050[/tex3]