Ensino Médio ⇒ Numeros Naturais Tópico resolvido

[Jbnlima]

Sabe-se que [tex3]2^{13}-1[/tex3] é primo.

Seja n=[tex3]2^{17}-16[/tex3]

Qual o número de divisores de "n" no conjunto dos números naturais?

Resposta

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10

[miguel747]

Resolução:

[tex3]n = 2^{\small 17} - 16 \Right n = 2^{\small 17} - 2^{\small 4} \Right[/tex3]
[tex3]\Right n = 2^{\small 4}\cdot(2^{\small 13}-1)\Right n = a^{\small 4}\cdot b[/tex3]
Número de divisores inteiros de n são [tex3](4+1)\cdot (1+1) = 5\cdot 2 = 10[/tex3]

Espero ter ajudado,

Filipe.

[Jbnlima]

Felipe,

É claro que você me ajudou, mas fiquei com dúvidas sobre o trecho abaixo. Gostaria de pedir que pudesse detalhar para mim. Grato


[tex3]\Right n = 2^{\small 4}\cdot(2^{\small 13}-1)\Right n = a^{\small 4}\cdot b[/tex3]

[Natan]

Olá amigo jbnlima,

vamos partir de:

[tex3]n=2^4(2^{13}-1)=16(2^{13}-1)[/tex3]

e queremos saber quantos divisores naturais tal número possui. Bem, os divisores de 16 são:

[tex3]D(16)=\left\{ \pm1,\, \pm2,\, \pm4,\, \pm8,\, \pm16\right\}[/tex3] porém nos naturais, temos apenas os do subconjunto [tex3]\left\{ 1,\, 2,\, 4,\, 8,\, 16\right\}[/tex3].

como [tex3]2^{13}-1[/tex3] é primo então só temos dois divisores certo?, 1 e ele mesmo. Assim, para cada um dos cinco acima juntamos com um dos desses dois e formamos divisores distintos para [tex3]n[/tex3] logo temos [tex3]5.2=10[/tex3] divisores.

[Jbnlima]

Amigo Natan,

Mais uma vez fico grato pela ajuda.