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A soma dos [tex3]8[/tex3] primeiros termos de uma PA é igual à soma dos [tex3]12[/tex3] primeiros termos. Qual é o valor da soma dos [tex3]20[/tex3] primeiros termos dessa PA?

Olá Paulo Testoni,

Usando a fórmula da soma dos termos de uma P.A.:

• [tex3]S_n=\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}[/tex3]
  
  [tex3]S_8=S_{12}[/tex3]
  
  [tex3]\frac{(a_1+a_8)\cdot 8}{2}=\frac{(a_1+a_12)\cdot 12}{2}[/tex3]
  
  [tex3](a_1+a_8)\cdot 4=(a_1+a_12)\cdot 6[/tex3]

Agora usamos a fórmula do termo geral da P.A.: [tex3]a_n=a_1+(n-1)\cdot r[/tex3]

• [tex3](a_1+a_1+7\cdot r)\cdot 4=(a_1+a_1+11\cdot r)\cdot 6[/tex3]
  
  [tex3](2a_1+7\cdot r)\cdot 2=(2a_1+11\cdot r)\cdot 3[/tex3]
  
  [tex3]4a_1+14\cdot r=6a_1+33\cdot r[/tex3]
  
  [tex3]2a_1+19r=0[/tex3]

Agora guardamos este valor e vamos para o que o enunciado pede:

• [tex3]S_{20}=\frac{(a_1+a_20)\cdot 20}{2}[/tex3]
  
  [tex3]S_{20}=(a_1+a_1+19r)\cdot 10[/tex3]
  
  [tex3]S_{20}=(2a_1+19r)\cdot 10[/tex3]

Note que o valor entre parênteses da equação acima já sabemos quanto vale, é zero. Ou seja:

• [tex3]S_{20}=0[/tex3]