Pré-Vestibular ⇒ (UnB) Polinômios Tópico resolvido

[ariadni04]

O resto da divisão do polinômio [tex3]3^{-10} (x + 3)^{12}[/tex3] pelo polinômio [tex3]x^3[/tex3] é:

a) [tex3]66x^2 + 36x + 9[/tex3]
b) [tex3]zero[/tex3]
c) [tex3]48x^2 + 12x + 9[/tex3]
d) [tex3]66x^2 - 9[/tex3]
e) [tex3]x^2 + x +9[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá ariadni04,

Na expansão Temos,
[tex3]3^{-10}(x + 3)^{12} = 3^{-10}\(C_{12}^0\cdot x^{12} + C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11} + C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^10 + ... + C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 + C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x + 3^{12}\)[/tex3]

Veja que o polinômio [tex3]x^3[/tex3] não dividirá os termos [tex3]x^2,x[/tex3] e o termo independente da expansão [tex3](x+3)^{12}[/tex3]

Assim temos,
[tex3]R(x)=3^{-10}\(C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 + C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x + 3^{12}\)[/tex3]
[tex3]R(x)=3^{-10}\(66 \cdot 3^{10}\cdot x^2 + 12\cdot 3^{11}\cdot x + 3^{12}\)[/tex3]
[tex3]R(x)=66x^2 + 12\cdot 3\cdot x + 3^2[/tex3]

Portanto o resto vale,
[tex3]\boxed{R(x)=66x^2 + 36 x + 9}[/tex3]. Letra A

Abraço.

[andrezza]

Alguém poderia me ajudar a entender melhor o que foi feito ?

[cajuADMIN]

Olá andrezza,

Vou tentar dissecar um pouco mais o que o colega FilipeCaceres fez.

[tex3]3^{-10}(x + 3)^{12} = 3^{-10}\(C_{12}^0\cdot x^{12} + C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11} + C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^{10} + ... + C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 + C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x + 3^{12}\)[/tex3]

Esse primeiro ponto foi feito apenas a expansão do binômio de Newton, utilizando a fórum [tex3]T_{p+1}=\binom{12}{p}x^p\cdot 3^{n-p}[/tex3]

Ou seja, o lado direito nada mais é o do que o lado esquerdo depois de elevar o binômio (x+3) à potência 12. Então podemos trabalhar com essa expansão ao invés de trabalhar com [tex3]3^{-10}(x + 3)^{12}[/tex3]

Como queremos o resto de uma divisão, vamos fazer a divisão. Mas, vamos fazer na expansão:

[tex3]\frac{3^{-10}(x + 3)^{12}}{x^3}=\frac{3^{-10}\(C_{12}^0\cdot x^{12} + C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11} + C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^{10} + ... + C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 + C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x + 3^{12}\)}{x^3}[/tex3]

Como temos várias somas no numerador, podemos separar em várias frações:

[tex3]\frac{3^{-10}(x + 3)^{12}}{x^3}=3^{-10}\(\frac{C_{12}^0\cdot x^{12}}{x^3} +\frac{ C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11} }{x^3}+\frac{ C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^{10} }{x^3}+ ... +\frac{ C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 }{x^3}+\frac{ C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x }{x^3}+\frac{ 3^{12}}{x^3}\)[/tex3]

Veja que temos, nos numeradores, vários termos em [tex3]x[/tex3] elevado a um expoente. Todos os termos que tiverem o expoente maior ou igual a 3, conseguiremos efetuar a divisão exata! Veja só:

[tex3]\frac{3^{-10}(x + 3)^{12}}{x^3}=3^{-10}\(C_{12}^0\cdot x^{12-3} + C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11-3}+C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^{10-3}+ ... +\frac{ C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 }{x^3}+\frac{ C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x }{x^3}+\frac{ 3^{12}}{x^3}\)\hspace{15pt}\color{red}\text{(I)}[/tex3]

Veja que, somente os termos que possuem [tex3]x^2[/tex3], [tex3]x[/tex3] e o termo independente que não conseguiram dividir por [tex3]x^3[/tex3].

Sabendo que uma divisão de um polinômio [tex3]P(x)[/tex3] por um outro [tex3]D(x)[/tex3] resulta em um quociente [tex3]Q(x)[/tex3] e um resto [tex3]R(x)[/tex3] que se relacionam da seguinte forma:

[tex3]P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)[/tex3]

No caso da nossa questão, [tex3]P(x)=3^{-10}(x + 3)^{12}[/tex3], [tex3]D(x)=x^3[/tex3]. Assim, com a expressão (I), podemos rearranjar e chegar em:

[tex3]3^{-10}(x + 3)^{12}=3^{-10}\(C_{12}^0\cdot x^{12-3} + C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11-3}+C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^{10-3}+ ... +\frac{ C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 }{x^3}+\frac{ C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x }{x^3}+\frac{ 3^{12}}{x^3}\)\cdot x^3[/tex3]

[tex3]3^{-10}(x + 3)^{12}=3^{-10}\(C_{12}^0\cdot x^{12-3} + C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11-3}+C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^{10-3}+ ...\)\cdot x^3 +3^{-10}\(\frac{ C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 }{x^3}+\frac{ C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x }{x^3}+\frac{ 3^{12}}{x^3}\)\cdot x^3[/tex3]

[tex3]\overbrace{3^{-10}(x + 3)^{12}}^{P(x)}=\underbrace{3^{-10}\(C_{12}^0\cdot x^{12-3} + C_{12}^1\cdot 3^1\cdot x^{11-3}+C_{12}^2\cdot 3^2\cdot x^{10-3}+ ...\)}_{D(x)}\cdot \overbrace{x^3}^{Q(x)} +\underbrace{3^{-10}\(C_{12}^{10}\cdot 3^{10} \cdot x^2 + C_{12}^{11}\cdot 3^{11}\cdot x+3^{12}\)}_{R(x)}[/tex3]

Veja que conseguimos montar uma expressão [tex3]P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x)[/tex3] exatamente com a divisão solicitada. Ou seja, chegamos que o resto da divisão é o [tex3]R(x)[/tex3] apresentado acima, que é exatamente o que o colega FilipeCaceres fez

Grande abraço,
Prof. Caju