Olimpíadas ⇒ circulo circunscrito ao triangulo

[rean]

Em um triângulo ABC, seja D um ponto sobre o lado BC tal que DB=14 , DA=13 e DC=4. Sabe-se que o círculo
circunscrito ao tiângulo ADB tem raio igual ao círculo circunscrito ao triângulo ADC, Então a área de triângulo ABC é.

resp. 108

[adrianotavares]

Olá, rean.

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Primeiro vamos provar que o [tex3]\Delta ABC[/tex3] é isósceles vejamos:

A área do triângulo [tex3]ABD[/tex3] é dada por:

[tex3]A_{\Delta ABD}=\frac{14.h}{2}[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

Como este triângulo está inscrito na circunferência teremos:

[tex3]A_{\Delta ABD}=\frac{13.14.a}{4R}[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Igualando [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{14.h}{2}=\frac{13.14.a}{4R} \Rightarrow h=\frac{13.a}{2R}[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

De maneira análoga para o triângulo [tex3]ADC[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{4.h}{2}=\frac{4.13.b}{4R} \Rightarrow h=\frac{13b}{2R}[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]

Sendo [tex3](iii)[/tex3] igual a [tex3](iv)[/tex3] conclui-se que [tex3]a=b[/tex3] logo,o [tex3]\Delta ABC[/tex3] é isósceles.

Aplicando Pitágoras no [tex3]\Delta APD[/tex3] encontraremos [tex3]h=12[/tex3]

[tex3]A_{\Delta ABC}=\frac{18.12}{2} \Rightarrow A_{\Delta ABC}=108[/tex3]