IME / ITA ⇒ (Simulado IME) Geometria Espacial - Cubo Tópico resolvido

[poti]

Um grupo de pesquisadores necessita cobrir um cubo radioativo de aresta 1m com um revestimento de espessura igual a 1m. Esse revestimento deverá ser construído de tal forma que cada ponto do cubo equidiste de 1m da superfície exterior do revestimento. Após cobrir o cubo, determine o volume do sólido cubo + revestimento.

Minha Resposta:

Resposta

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9

Gabarito: ?

[fabit]

Para cobrir o "offset" externo serão necessários 6 cubos 1x1x1 (1 para cada face), mais 12 peças iguais a "quartos" de cilindros (ou "quadrantes" de cilindros) de raio 1 e altura 1 (1 para cada aresta), mais 8 "octantes" de esfera de raio 1 (1 para cada vértice).

Já com o cubo original incluso, fica [tex3]7.1^3+12.\frac{\pi.1^3}{4}+8.\frac{4}{3}.\pi.1^3=\frac{21+9\pi+32\pi}{3}[/tex3]

[tex3]\boxed{\frac{41\pi+21}{3}}[/tex3]

[Natan]

Não rola uma ilustração?, não entendi...

[fabit]

Vou cantar a bola em 2D, pois aqui não tenho como fazer a figura pra mandar.

1 ) Desenhe um quadrado ABCD de lado 1.
2 ) Prolongue de 1 unidade todos os lados.
3 ) Chame de P e Q os extremos do suporte de AB, de modo que os pontos fiquem na ordem PABQ.
4 ) Chame de X e Y os extremos do suporte de BC, de modo que haja ordem XBCY.
5 ) Chame de U e V os extremos do suporte de CD, de modo que os pontos fiquem na ordem UCDV.
6 ) Chame de M e N os extremos do suporte de AD, de modo que haja ordem MDAN.
7 ) Perceba que os quadriláteros BCUQ, CDMY, ADVP e ABXN são quadrados. Feche-os unindo NX, UQ, MY e VP.
8 ) Feche o contorno, centrando o compasso em B e ligando XQ com um arco de 90 graus. Depois com centro em C ligando UY, centro em D ligando MV e centro em A ligando NP.

A curva NXQUYMVPN é chamada offset externo do quadrado, com distãncia 1. É o lugar geométrico dos pontos exteriores cuja menor distãncia ao objeto seja 1.

Em 2D isso é o que se obtém, e é a vista lateral do que ocorre em 3D, mas com poliedros o offset é uma superfície, não uma curva.

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Um desenho para ajudar na compreensão.

Para facilitar minha vida, vou desenhar a seção vertical central do cubo, já dá pra ter uma ideia de como vai ser o cubo e seu revestimento:

Screen Shot 2012-03-12 at 22.54.06.png (12.17 KiB) Exibido 1120 vezes

O poti disse que encontrou 9, deve ter entendido que o revestimento seria um outro cubo ao redor do cubo radioativo. Mas, note que o enunciado fala que cada ponto do cubo radioativo vai estar a uma distância de 1m da superfície, por isso os cantos arredondados.
Se fosse um cubo ao redor do cubo radioativo, os vértices do cubo radioativo estariam a uma distância [tex3]\sqrt 2[/tex3] do vértice do cubo de revestimento, contrariando o enunciado.

Grande abraço,
Prof. Caju