Pré-Vestibular ⇒ (UNISINOS-RS)Geomeria Espacial Tópico resolvido

[Flavio2008]

Se de um dodecaedro regular convexo de aresta medindo 6cm destacarmos pirâmides triângulares com aresta laterais medindo 2cm e tendo seus vértices em cada vértice do dodecaedro, resultará um sólido cujo o número de diagonais das faces é:
a) 324
b) 660
c) 240
d) 420
e) 480

[petrasMOD]

Um dodecaedro regular tem (20) vértices, logo surgem (20) faces triangulares (uma para cada vértice).
Cada face pentagonal original tem seus 5 vértices truncados, passando a ser uma face de (10) lados (decágono).
Como havia (12) faces pentagonais, teremos (12) decágonos.
Assim o sólido resultante tem (12) decágonos e (20) triângulos.

O número de diagonais de um polígono de (n) lados é [tex3](\dfrac{n(n-3)}{2}).
[/tex3]
Para o decágono ((n=10)): [tex3](\dfrac{10\cdot7}{2}=35) [/tex3]diagonais por face.
Para o triângulo: (0) diagonais.

Total de diagonais das faces: [tex3]12\cdot35 + 20\cdot0 = \boxed{420}[/tex3]
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