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Provar que a função [tex3]f(x)= a^x[/tex3] com [tex3]0 < a\neq o[/tex3] é um isomorfismo inverso.

Olá,

Um isomorfismo inverso nada mais é do que um homomorfismo bijetor que admite inversa. Vamos então por partes, primeiro provemos que a exponencial dada é um homomorfismo, ou seja, que a aplicação entre grupos:

[tex3]f:\, (\Re,\, +) \to (\Re_{+}^{*},\, \cdot ) \\ x\, \to \, a^x[/tex3]

satisfaz:

[tex3]f(x+y)=f(x)\cdot f(y),[/tex3] de fato, note que tomando [tex3]x,\, y\, \in\, (\Re,\, +)[/tex3] temos:

[tex3]f(x+y)=a^{x+y}=a^x\cdot a^y=f(x)\cdot f(y)[/tex3]

agora devemos mostrar que a aplicação é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora.

Injetora:

Mostraremos que [tex3]f(x)=f(y)\, \Right\, x=y[/tex3] em palavras significa que se a imagem de dois elementos são as mesmas, então necessáriamente tais elementos devem ser iguais, ou seja, elementos diferentes devem ter imagens distintas. De fato,

[tex3]f(x)=f(y)\, \Right\, a^x=a^y\, \Right\, x \log _aa=y \log _aa\, \therefore\, x=y[/tex3] lembre-se que [tex3]\log _aa=1[/tex3].

Sobrejetora:

Devemos mostrar que para todo [tex3]y[/tex3] no contradomínio, existe um correspondente no domínio, ou seja, devemos mostrar essencialmente que o contradomínio e a imagem são na verdade o mesmo conjunto:

[tex3]y=a^x\, \Right\, \log _ay=x \log _aa\, \therefore\, x=\log _ay[/tex3]

note que para todo [tex3]x[/tex3] do domínio que escolhermos haverá um [tex3]y[/tex3] correspondente no contradomínio, com isso, tal aplicação é sobrejetora.

Com isso fica provado que a função exponencial é um isomorfismo. Para achar a aplicação inversa, devemos ter em mente que a inversa faz exatamente o contrário da original, ou seja, enquanto a original leva o domínio no contradomínio a inversa leva o contradomínio no domínio, e sabendo ainda que a operação inversa do exponenciação é o logaritmo, montamos a aplicação pedida:

[tex3]f^{-1}:\, (\Re_{+}^{*},\, \cdot ) \rightarrow (\Re,\, +) \\ x\, \rightarrow y=\log_ax[/tex3]

Valeu, Natan, esclareceu minha dúvida!!