Ensino Médio ⇒ Mostre II

[jothar]

Dados dois números [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] reais e positivos, chama-se média aritmética de [tex3]x[/tex3] com [tex3]y[/tex3] o real [tex3]a = \frac{x + y}{2}[/tex3] e chama-se média geométrica o real [tex3]g =\sqrt{xy}[/tex3]. Mostre que [tex3]a\geq g[/tex3] para todos [tex3]x[/tex3], [tex3]y\in{R_{+}}[/tex3].

[Nesaxtoie]

Olá Jothar.
A primeira coisa que devemos notar é x e y são números reais positivos. Isso é importante.
Começarei com a seguinte expressão:

[tex3](x-y)^2\geq 0[/tex3]

Note que ela é válida para quaisquer números reais, sejam eles positivos ou negativos. Manipulando-a:

[tex3](x-y)^2\geq 0\Rightarrow x^2-2xy+y^2\geq 0 \Rightarrow x^2+y^2\geq 2xy[/tex3]

Somando-se agora [tex3]2xy[/tex3] a ambos os lados da inequação acima, obtemos
[tex3]x^2+2xy+y^2\geq 4xy \Rightarrow \frac{x^2+2xy+y^2}{4}\geq xy\Rightarrow \frac{(x+y)^2}{4}\geq xy \Rightarrow[/tex3] pelo fato de x e y serem positivos, podemos tirar a raiz [tex3]\Rightarrow \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}[/tex3].