Olimpíadas ⇒ área de um triângulo em função das bissetrizes Tópico resolvido

[rean]

Mostre que a área de um triângulo em função de suas bissetrizes e dada por

S=[tex3]\frac{b_Ab_Bb_C(a+c)(a+b)(b+c)}{8abcp}[/tex3]

[geobson]

................up...........

[FelipeMartinMOD]

essa é bem tranquila, bem direta. Se o enunciado estiver certo

[petrasMOD]

geobson,
[tex3]\mathtt{b_a = \frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)}\implies p-a = \frac{b_a^2(b+c)^2}{4bcp}\\
b_b = \frac{2}{a+c} \sqrt{acp(p-b)}\implies p-b = \frac{b_b^2(a+c)^2}{4acp}\\
b_c = \frac{2}{a+b} \sqrt{abp(p-c)}\implies p-c = \frac{b_c^2(a+b)^2}{4abp}\\
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p(\frac{b_a^2(b+c)^2}{4bcp})(\frac{b_b^2(a+c)^2}{4acp})(\frac{b_c^2(a+b)^2}{4abp})}\\
=\sqrt{\frac{\cancel{p}}{64\cancel{p^3}^2}\frac{b_a^2b_b^2b_c^2(b+c)^2(a+c)^2(a+b)^2}{a^2b^2c^2}}\\
\boxed{\color{red}S = \frac{b_ab_bb_c(b+c)(a+c)(a+b)}{8pabc}}\color{green}\huge\checkmark



}[/tex3]

[geobson]

geobson,
[tex3]\mathtt{b_a = \frac{2}{b+c} \sqrt{bcp(p-a)}\implies p-a = \frac{b_a^2(b+c)^2}{4bcp}\\
b_b = \frac{2}{a+c} \sqrt{acp(p-b)}\implies p-b = \frac{b_b^2(a+c)^2}{4acp}\\
b_c = \frac{2}{a+b} \sqrt{abp(p-c)}\implies p-c = \frac{b_c^2(a+b)^2}{4abp}\\
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p(\frac{b_a^2(b+c)^2}{4bcp})(\frac{b_b^2(a+c)^2}{4acp})(\frac{b_c^2(a+b)^2}{4abp})}\\
=\sqrt{\frac{\cancel{p}}{64\cancel{p^3}^2}\frac{b_a^2b_b^2b_c^2(b+c)^2(a+c)^2(a+b)^2}{a^2b^2c^2}}\\
\boxed{\color{red}S = \frac{b_ab_bb_c(b+c)(a+c)(a+b)}{8pabc}}\color{green}\checkmark



}[/tex3]

Show de bola, Petras!
Obrigado !