Olimpíadas ⇒ medianas Tópico resolvido

[rean]

Mostre que as medianas de um triângulo se intersecta em um ponto mesmo ponto chamado baricentro do triângulo.

[petrasMOD]

Seja o triângulo ABC, tracemos as medianas BMb e CMc,
que se cortam em G, conforme figura.
tracemos a semi-reta AG que encontra BC e Ma.
De fato, seja E em AG, tal que GE = AG e tracemos BE e CE.
No ∆ ABE, GMc || BE, pois G e Mc são pontos médios dos lados AE
e AB, respectivamente (base média).
De modo análogo, GMb || CE no ∆ ACE.
Portanto, BECG é um paralelogramo (Definição) e suas diagonais BC e GE
se encontram em seus pontos médios.
Logo,
1) Ma é o ponto médio de BC e AMa é a terceira mediana.
2) AG = GE = 2 · GMa ou AG = GE =
2/3· AMa
De modo similar, sBG = 2 · GMb e CG = 2 · GMc
(Solução: site uff)

[FelipeMartinMOD]

Outra solução: O ponto [tex3]G = \frac{A+B+C}3[/tex3] se encontra sobre as medianas [tex3]X = A + (\frac{B+C}2-A)t[/tex3], [tex3]X = B + (\frac{A+C}2-B)t[/tex3] para [tex3]t \in [0,1][/tex3], [tex3]t = \frac23[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

Outra solução: sejam [tex3]M_a,M_b[/tex3] e [tex3]M_c[/tex3] os pontos médios dos lados [tex3]BC,AC[/tex3] e [tex3]AB[/tex3], [tex3]\frac{M_aC}{M_aB} \cdot \frac{M_cB}{M_cA} \cdot \frac{M_bA}{M_bC} = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 [/tex3], logo, conhecendo-se o teorema de Ceva (https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ceva), segue que as medianas são concorrentes.