IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1979) Geometria Plana

[ALDRINMOD]

[tex3]\overline{PQ}[/tex3] é a corda comum de duas circunferências secantes de centros em [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]. A corda [tex3]\overline{PQ}[/tex3], igual a [tex3]4\sqrt{3}\text{ cm}[/tex3], determina, nas circunferências, arcos de [tex3]60^\circ[/tex3] e [tex3]120^\circ[/tex3]. A área do quadrilátero convexo [tex3]APBQ[/tex3] é:

(A) [tex3](6\sqrt{3})\text{ cm}^2[/tex3].
(B) [tex3](3\sqrt{3}+12)\text{ cm}^2[/tex3].
(C) [tex3](12+6\sqrt{3})\text{ cm}^2[/tex3].
(D) [tex3]12\text{ cm}^2[/tex3].
(E) [tex3]16\sqrt{3}\text{ cm}^2[/tex3].

Resposta

---

E

[poti]

Estou sem programa de desenho neste PC, amanhã eu posto para melhor entendimento.

No caso descrito, temos dois triângulos isósceles (um com dois lados que chamarei de [tex3]R[/tex3], e o outro com dois lados que chamarei de [tex3]r[/tex3]) "colados" pela corda comum [tex3]4\sqrt{3}[/tex3]. Fazendo lei dos cossenos nos dois chegamos nas seguintes equações:

[tex3]4\sqrt{3}^{2}=R^{2}+R^{2}-2.R.R.(Cos60°)[/tex3]
[tex3]4\sqrt{3}^{2}=r^{2}+r^{2}-2.r.r.(Cos120°)[/tex3]

Fazendo as contas chegamos em:

[tex3]R = 4\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]r = 4[/tex3]

Lembrando da fórmula de área de um triângulo qualquer:

[tex3]Area = \frac{a.b.Sen\alpha}{2}[/tex3]

Aplicando-a:

[tex3]Area 1 = \frac{R.R.Sen60°}{2}[/tex3]
[tex3]Area 1 = \frac{48\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]Area1 = 12\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]Area 2 = \frac{r.r.Sen120°}{2}[/tex3]
[tex3]Area 2 = \frac{16\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}[/tex3]
[tex3]Area 2 = 4\sqrt{3}[/tex3]

[tex3]Area Quadrilátero = Area 1 + Area 2[/tex3]
[tex3]Area Quadrilátero = 16\sqrt{3}[/tex3]


Letra E