Ensino Médio ⇒ Radical Duplo

[poti]

[tex3]\alpha = \sqrt[3]{2+\sqrt[2]{5}} + \sqrt[3]{2-\sqrt[2]{5}}[/tex3]

Prove que alfa é um número racional.

[Chris]

Você terá que usar o produto notável:

[tex3](a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + 3ab(a + b) + b^3[/tex3]

Então elevaremos nossa expressão ao cubo dos dois lados. Lembrando que, no caso, [tex3]a = \sqrt[3]{2+\sqrt[2]{5}}[/tex3], então [tex3]a^3 = 2+\sqrt[2]{5}[/tex3], e [tex3]b = \sqrt[3]{2-\sqrt[2]{5}}[/tex3], então [tex3]b^3 = 2-\sqrt[2]{5}[/tex3].

Além disso [tex3]a \ast b = \sqrt[3]{2+\sqrt[2]{5}} \ast \sqrt[3]{2-\sqrt[2]{5}} = \sqrt[3]{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \sqrt[3]{2^2 -\sqrt{5}^2} =\sqrt{4 - 5} =\sqrt{-1} = -1[/tex3]

Temos então:

[tex3]\alpha^3 = a^3 + 3ab(a + b) + b^3[/tex3]

Lembremos que [tex3]a + b = \alpha[/tex3]. Então:

[tex3]\alpha^3 = 2+\sqrt[2]{5} + 3(-1)(\alpha) + 2-\sqrt[2]{5} \Rightarrow \alpha^3 = 4 - 3\alpha \Rightarrow \alpha^3 + 3\alpha - 4 = 0[/tex3]

É fácil perceber que uma das soluções dessa equação é 1. Usando o dispositivo de Briot-Ruffini com a raiz 1, percebemos que as outras raízes dessa equação estão na equação [tex3]\alpha^2 + \alpha + 4 = 0[/tex3], na qual [tex3]\Delta = -15 < 0[/tex3], logo não há outras soluções reais.

Portanto, [tex3]\alpha = 1[/tex3], que é um número racional.

[poti]

Achei que teria um jeito mais simples. O jeito sempre será se desdobrar nas contas

Obrigado!