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Seja as equações do 2º grau [tex3]ax^2\,+\,bx\,+c\,=0[/tex3] com soluções [tex3]x_1[/tex3] e [tex3]x_3\,\,[/tex3] e [tex3]\,\,cx^2\,+\,bx\,+\,a[/tex3] com soluções [tex3]x_2[/tex3] e [tex3]x_4[/tex3]. Sabendo que [tex3](x_1\,,\,x_2\,,\,x_3\,,\,x_4)[/tex3] é uma PA não constante, mostre que [tex3]a\,+\,c\,=\,0.[/tex3]

pelas relações de girard podemos escrever:
[tex3]ax^2-a(x_1+x_3)x+a(x_1\cdot x_3) = 0[/tex3]

e

[tex3]cx^2-c(x_2+x_4)x+c(x_2\cdot x_4) = 0[/tex3]

sabemos pelas propriedades de PA que:
[tex3](x_3 - x_1) = (x_4 - x_2)[/tex3]

e por baskhara definimos [tex3](x_3 - x_1)[/tex3] e [tex3](x_4 - x_2)[/tex3]

[tex3]\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} - \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{2\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{a}[/tex3]

então pela primeira equação equação temos:

[tex3](x_3 - x_1) = \frac{\sqrt{a^2(x_1+x_3)^2- 4\cdot a \cdot (a\cdot x_1 \cdot x_3)}}{a}[/tex3]


[tex3](x_3 - x_1) = \frac{\sqrt{a^2((x_1+x_3)^2- 4\cdot x_1 \cdot x_3)}}{a}[/tex3]

[tex3](x_3 - x_1) = \frac{|a|\sqrt{((x_1+x_3)^2- 4\cdot x_1 \cdot x_3)}}{a}[/tex3]

e pela segunda equação:

[tex3](x_4 - x_2) = \frac{\sqrt{c^2(x_2+x_4)^2- 4\cdot c \cdot (c\cdot x_2 \cdot x_4)}}{c}[/tex3]


[tex3](x_4 - x_2) =|c|\frac{\sqrt{(x_2+x_4)^2- 4x_2 \cdot x_4}}{c}[/tex3]

se [tex3]x_1, x_2, x_3, x_4[/tex3] é uma PA de razão R

[tex3](x_1+x_3) = (x_2-R)+(x_4-R) = x_2+ x_4 - 2R[/tex3]
e
[tex3](x_1\cdot x_3) = (x_2-R)\cdot(x_4-R) = R^2-(x_2+ x_4)\cdot R[/tex3]

[tex3](x_4 - x_2) = |c|\frac{\sqrt{(x_2+x_4)^2- 4x_2 \cdot x_4}}{c}[/tex3]

[tex3]x_3 = \frac{-b}{c}[/tex3]
[tex3]x_2 = \frac{-b}{a}[/tex3]

a razão fica como [tex3]\frac{\Delta}{a}[/tex3]

[tex3]\left|\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\right| = \left|\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{c}\right|[/tex3]

note que a = c ou a = -c

para não ser constante a = -c

a+c = 0

Confesso que não entendi o que você queria fazer.