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O número natural N deixa: resto 2 quando dividido por 3; resto 3 quando dividido por 7; e resto 19 quando dividido por 41. Qual é o resto da divisão do numero K=(N+1).(N+4).(N+22) por 861?

Olá,rean.

De acordo com o enunciado podemos escrever:

[tex3]N=3q_1+2[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]N=7q_2+3[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

[tex3]N=41q_3+19[/tex3] [tex3](iii)[/tex3]

Igualando [tex3](i)[/tex3] e [tex3](ii)[/tex3] temos:

[tex3]3q_1+2=7q_2+3 \Rightarrow q_1=\frac{7q_2+1}{3}[/tex3] [tex3](iv)[/tex3]

Igualando [tex3](ii)[/tex3] e [tex3](iii)[/tex3] temos:

[tex3]7q_2+3=41q_3+19 \Rightarrow q_3=\frac{3q_1-17}{41}[/tex3] [tex3](v)[/tex3]

Igualando [tex3](i)[/tex3] [tex3](iii)[/tex3] temos:

[tex3]3q_1+2=41q_3+19 \Rightarrow q_3=\frac{3q_1-17}{41}[/tex3] [tex3](vi)[/tex3]

Os valores que satisfazem simultaneamente as equações [tex3](iv)[/tex3], [tex3](v)[/tex3] e [tex3](vi)[/tex3] serão:

[tex3]q_2=14[/tex3]

[tex3]q_1=33[/tex3]

[tex3]q_3=2[/tex3]

Logo, teremos:

[tex3]N=3q_1+2 \Rightarrow N=3.33+2 \Rightarrow N=101[/tex3]

Calculando o valor de [tex3]k[/tex3] teremos:

[tex3]k=\frac{102.105.123}{861} \Rightarrow k=1530[/tex3]