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Alguém pode me mostrar porque, a expressão abaixo e igual a 12?

[tex3]\sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3]

Amigos do Forum,

Como o Balanar, também tentei resolver a questão e não consegui. Peço que alguém possa solucioná-la para que possamos aprender. Desdé já fico grato.

Dêem uma olhada nesse tópico aqui.

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/vie ... =3&t=15741

Acredito que a resolução saia de uma maneira bem parecida. Se não sair, tento mandar explicado aqui.

Amigo,

Se for possível explique para nós de maneira mais compreensível. Desde já agradeço.

Bom, vamos chamar a expressão dada de x.

[tex3]x = \sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3]

Elevamos agora a expressão ao cubo dos dois lados. Temos:

[tex3]x^3 = (\sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}+\sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}})^3[/tex3]

Lembrando do produto notável que eu coloquei o link:

[tex3](a+b)^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3[/tex3]

Nesse caso, [tex3]a = \sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3] e [tex3]b = \sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}[/tex3].

Sendo assim:

[tex3]a^3 = \sqrt[3]{{\left(20-14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}^3 = (20-14\sqrt[]{2})^{2} = 400 - 560\sqrt{2} + 392 = 792 - 560\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]b^3 = \sqrt[3]{{\left(20+14\sqrt[]{2} \right)}^{2}}^3 = (20+14\sqrt[]{2})^{2} = 400 + 560\sqrt{2} + 392 = 792 + 560\sqrt{2}[/tex3]
[tex3]a\cdot b = \sqrt[3]{\left(20+14\sqrt{2} \right)^{2}} \cdot \sqrt[3]{\left(20-14\sqrt{2} \right)^{2}} = \sqrt[3]{\left(20+14\sqrt{2} \right)^{2} \cdot \left(20-14\sqrt{2} \right)^{2}} = \sqrt[3]{\left[\left(20+14\sqrt{2} \right) \cdot \left(20-14\sqrt{2} \right) \right]^{2}}[/tex3]

Apareceu uma seta aqui, mas sei lá porque.

Façamos primeiro a multiplicação dentro da raiz:

[tex3]\left(20+14\sqrt{2} \right) \cdot \left(20-14\sqrt{2} \right) = 20^2 - (14\sqrt{2})^2 = 400 - 392 = 8[/tex3]

Portanto:

[tex3]a \cdot b = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4[/tex3]

Vale lembrar também que a + b = x.

Voltemos então ao protudo notável:

[tex3]x^3 = (a+b)^3 = a^3 + 3ab(a+b) + b^3 = 792 - 560\sqrt{2} + 3 \cdot 4 \cdot x + 792 + 560\sqrt{2} =1584 + 12x[/tex3]

Portanto o valor de x será a solução da equação

[tex3]x^3 - 12x - 1584[/tex3]

A única raiz inteira dessa equação é 12, sendo as duas outras imaginárias...

UFA!

Amigo,


Grato pela ajuda. Não pensei que fosse tão complexo. Mas agora compreendi.

Amigo,

Grato pela ajuda, realmente a solução é meio complexa. Mas entendi a resolução.

Excelente resposta Chris