Pré-Vestibular ⇒ (UFPR) Função de 2º Grau Tópico resolvido

[murilonves]

Se [tex3]2x + y = 3[/tex3], o valor mínimo de [tex3]\sqrt{x^2+y^2}[/tex3] é:

Resposta:

---

[tex3]\sqrt{45}/{5}[/tex3]

[FilipeCaceres]

Valor chamar de [tex3]a[/tex3] o que queremos encontrar,assim temos

[tex3]x^2+y^2=a^2[/tex3] (i)
[tex3]2x+y=3\Rightarrow y=3-2x[/tex3] (ii)

De (ii) em (i) temos:

[tex3]x^2+(3-2x)^2=a^2[/tex3]
[tex3]x^2+(9-12x+4x^2)=a^2[/tex3]
[tex3]5x^2-12x+(9-a^2)=0[/tex3]

Para que essa equação exista nos reais, devemos ter [tex3]\Delta \geq 0[/tex3]

Fazendo

[tex3]\Delta=b^2-4ac=0[/tex3]

Temos

[tex3]144-20(9-a^2)=0[/tex3]

Resolvendo
[tex3]20a^2-36=0[/tex3]
[tex3]20a^2=36[/tex3]
[tex3]a^2=\frac{36}{20}=\frac{9}{5} \Rightarrow a=\frac{3}{\sqrt 5}=\frac{3\sqrt 5}{5}=\frac{\sqrt 45}{5}[/tex3]

Assim temos [tex3]\boxed{\sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt 45}{5}}[/tex3]

Espero ter ajudado

[murilonves]

valeu exelente explicação

[Natan]

O que garante que o valor achado para a é o mínimo?

[andrecaldas]

Uma maneira mais algébrica é afirmar que 2x+y = 3 é a equação de uma reta, e que portanto, o que se quer saber, é a distância entre (0,0) e a reta.

[Chris]

Achei meio estranha essa resolução. Eu faria assim. Vamos chamar de:

[tex3]f(x,y) = x^2 + y^2[/tex3]

Para que a raíz de [tex3]f(x,y)[/tex3] seja mínima, [tex3]f(x,y)[/tex3] deve ser mínimo.

Substituindo a relação dada temos:

[tex3]f(x,y) = x^2 + 9 - 12x + 4x^2 = 5x^2 - 12x + 9[/tex3]

Isso é uma função do segundo grau com concavidade virada para cima, logo terá um ponto de mínimo. O valor de x para que essa função seja mínima será 1,2. É só calcular o valor de y e o valor da expressão, que será 1, o que é menor do que o que o amigo encontrou lá em cima.

[murilonves]

nao entendi Chris, desta forma que voce resolveu acima qual seria o valor minimo de [tex3]\sqrt{x^2+y^2}[/tex3]



acredito que esteja certa a forma como o filipe fez

afinal. com o desenvolvimento da questão vemos que

[tex3]a^2[/tex3] assumiria o menor valor para delta igual a zero


[tex3]"20a^2-36=0"[/tex3]

mas como [tex3]a^2 = x^2+y^2[/tex3] entao [tex3]\sqrt{x^2+y^2}[/tex3] tem o seu valor minimo valendo [tex3]\sqrt{45}/{5}[/tex3]


ou não?

[Chris]

Tá certo mesmo essa resposta. Eu tinha errado conta. Mas não entendi o que foi feito. Pra mim não faz sentido o delta dar zero garantir que vai ser o valor mínimo.

[andrecaldas]

Pra mim não faz sentido o delta dar zero garantir que vai ser o valor mínimo.

Você tem razão. Tem que justificar isso.

A princípio, o que deveria ser minimizado, seria o valor de
[tex3]x^2 + (3-2x)^2[/tex3].

Se eu chamar de [tex3]a^2[/tex3] o valor que minimiza a equação acima, então
[tex3]x^2 + (3-2x)^2 - a^2[/tex3]
terá valor mínimo igual a zero. Quando é que o mínimo (ou máximo, se for o caso) de uma parábola é zero?

Resposta

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Quando a parábola tem uma, e apenas uma, raiz. Ou seja, quando [tex3]\Delta = 0[/tex3].

[Chris]

Boa, não tinha pensado nisso... Tem toda razão. Mas ainda achei mais fácil minimizando a função em si, do que fazer a diferença e igualar a zero.