Olimpíadas ⇒ (IMO - 2005) Desigualdade Tópico resolvido

[Z-BosoN]

Sejam [tex3]x, y, z[/tex3] números reais positivos tais que [tex3]xyz \geq 1.[/tex3]
Demonstre que [tex3]\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2}+ \frac{y^5 - y^2}{y^5 + x^2 + z^2} + \frac{z^5 - z^2}{z^5 + y^2 + x^2} \geq 0[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Banco de Provas de várias Olimpíadas, com soluções. (É possível baixar as provas em pdf).

[triplebig]

Obrigado Karl. Mas um favorzinho, você poderia explicar o que é esse simbolo de somatório e como que ele está sendo empregado? Eu li menções de teorema de Cauchy, você é familiar com isso?

[Karl Weierstrass]

Um exemplo elementar do somatório é a fórmula que dá o desenvolvimento do binômio de Newton.

[tex3]\hspace{70pt}(a+b)^n=\displaystyle\sum_{p=0}^n{n\choose p}\,\cdot\,\,a^{n-p}\,\cdot\,b^p[/tex3]

O somatório é utilizado para simplificar a representação de somas com um número grande de parcelas. Considere uma soma com 100 parcelas:

[tex3]\hspace{70pt}x_1+x_2+\ldots +x_{100}=\displaystyle\sum_{i=1}^{100}x_i[/tex3]

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Sejam [tex3]a_1,\,a_2,\,\ldots,\, a_n[/tex3] e [tex3]b_1,\,b_2,\,\ldots,\, b_n[/tex3] seqüências de números reais. Então

[tex3]\hspace{70pt}\left(\sum a_ib_i\right)^2\leq \left(\sum a^2_i\right)\left(\sum b^2_i\right)[/tex3]

[tex3]n=2 \Longrightarrow (a_1b_1\,+\,a_2b_2)^2\,\leq\, (a_1^2\,+\,a_2^2)(b_1^2\,+\,b_2^2),[/tex3] que após algumas manipulações se transforma na desigualdade das médias para duas variáveis.

[triplebig]

[tex3]\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2}+ \frac{y^5 - y^2}{y^5 + x^2 + z^2} + \frac{z^5 - z^2}{z^5 + y^2 + x^2} \geq 0\\
\\

\(1-\frac{x^5 - x^2}{x^5 + y^2 + z^2}\)+\(1- \frac{y^5 - y^2}{y^5 + x^2 + z^2}\)+\(1-\frac{z^5 - z^2}{z^5 + y^2 + x^2}\)\leq 3\\
\\

\frac{x^2+y^2+z^2}{x^5+y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^5+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2+z^5}\leq 3\\
\\

\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^5}\leq\frac{3}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]

Por Cauchy, temos:

[tex3](a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2[/tex3]

Tomemos [tex3]\begin{cases}a_1^2=x^5\\b_1^2=x^{-1}\\ a_2^2=b_2^2=y^2\\a_3^2=b_3^2=z^2\end{cases}[/tex3]

Substituindo:

[tex3](x^5+y^2+z^2)\(\frac{1}{x}+y^2+z^2\)\geq (x^2+y^2+z^2)^2[/tex3]

Mas da condição temos:

[tex3]xyz\geq 1\;\Leftrightarrow\;\frac{1}{x}\leq yz[/tex3]

Assim:

[tex3](x^5+y^2+z^2)\(yz+y^2+z^2\)\geq (x^5+y^2+z^2)\(\frac{1}{x}+y^2+z^2\)\geq (x^2+y^2+z^2)^2[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x^5+y^2+z^2}\leq \frac{yz+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3]

Podemos fazer o mesmo para as outras variáveis, então:

[tex3]\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^5}\leq\frac{yz+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+xz+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+y^2+xy}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3]

Pela [tex3]MA\geq MG[/tex3] temos :

[tex3]\frac{yz+y^2+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+xz+z^2}{(x^2+y^2+z^2)^2}+\frac{x^2+y^2+xy}{(x^2+y^2+z^2)^2}\leq

\frac{\frac{y^2+z^2}{2}+y^2+z^2+ x^2+\frac{x^2+z^2}{2}+z^2 +x^2+y^2+\frac{x^2+y^2}{2}}{(x^2+y^2+z^2)^2}[/tex3]

O lado direito da inequação é igual a [tex3]\frac{3}{x^2+y^2+z^2}[/tex3] .

Assim,

[tex3]\frac{1}{x^5+y^2+z^2}+\frac{1}{x^2+y^5+z^2}+\frac{1}{x^2+y^2+z^5}\leq\frac{3}{x^2+y^2+z^2}[/tex3]

E a inequação é verdadeira.