Pré-Vestibular ⇒ (OSEC - 78) Derivada

[poti]

Dado um triângulo [tex3]ABC[/tex3] de base [tex3]8[/tex3] e altura [tex3]6[/tex3], o retângulo de área máxima, tendo a base contida no triângulo e os outros dois vértices pertencendo aos dois lados do triângulo tem área:

a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

PS: Tem como fazer sem derivada ??

[Chris]

Sim, pelas fórmulas do vértice da função do segundo grau.

[adrianotavares]

Olá,poti.

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Os triângulos [tex3]ABC[/tex3] e [tex3]ADE[/tex3] são semelhantes logo, teremos:

[tex3]\frac{8}{6}=\frac{x}{6-y} \Rightarrow 6x=-8y+48 \Rightarrow x=-\frac{4}{3}y+8[/tex3] [tex3](i)[/tex3]

[tex3]A_r=xy[/tex3] [tex3](ii)[/tex3]

Substituindo [tex3](i)[/tex3] em [tex3](ii)[/tex3] teremos:

[tex3]A=y\left(-\frac{4}{3}y+8\right) \Rightarrow A_r=-\frac{4}{3}y^2+8y[/tex3]

Sendo a área uma função quadrática com [tex3]a<0[/tex3], ela será máxima para:

[tex3]y_v=-\frac{b}{2a} \Rightarrow -\frac{8}{2(-\frac{4}{3})} \Rightarrow y=3[/tex3]

Substituindo o valor de [tex3]y[/tex3] em [tex3](i)[/tex3] encontraremos [tex3]x=4[/tex3]

[tex3]A_r=xy \Rightarrow A_r=4.3 \Rightarrow A_r=12[/tex3]

Alternativa:e