Pré-Vestibular ⇒ (UFRN-2010) Geometria analitica Tópico resolvido

[cesaraugusto]

Três amigos – André (A), Bernardo (B) e Carlos (C) – saíram para caminhar, seguindo trilhas
diferentes. Cada um levou um GPS – instrumento que permite à pessoa determinar suas
coordenadas. Em dado momento, os amigos entraram em contato uns com os outros, para
informar em suas respectivas posições e combinaram que se encontrariam no ponto eqüidistante
das posições informadas.
As posições informadas foram:

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Com base nesses dados, conclui-se que, os três amigos se encontrariam no ponto:

[fabit]

O ponto equidistante de A, B e C é o circuncentro do triângulo ABC, ou seja, o ponto de encontro das mediatrizes.

Isso dá um pouco de trabalho. Vou pegar o ponto médio de BC e escrever a reta perpendicular a BC. Vou repetir o procedimento para AC (poderia ser AB, tanto faz, estou chutando que AC terá números melhores). E aí essas perpendiculares, que são as mediatrizes, se intersectarão no ponto procurado.

Médio de BC (4.5,-1.5). Vetor CB=B-C=(3,3). Equação da mediatriz de BC: [tex3]3(x-4.5)+3(y+1.5)=0[/tex3]. Depois eu melhoro ela para escrever o sisteminha.

Médio de AC [tex3]\(2,\frac{\sqrt{5}-3}{2}\)[/tex3]. Vetor AC=C-A=[tex3]\(2,-3-\sqrt{5}\)[/tex3]. Equação da mediatriz de AC: [tex3]2(x-2)+(-3-\sqrt{5})(y-\frac{\sqrt{5}-3}{2})=0[/tex3].

Simplificando a primeira ao máximo, fica [tex3]\boxed{x+y=3}[/tex3]. Com a segunda irei devagar: [tex3]2x-4-\(3+\sqrt{5}\)\(y+\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)=0[/tex3]

[tex3]2x-4-y(3+\sqrt{5})-\frac{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{2}=0[/tex3]

[tex3]2x-(3+\sqrt{5})y=4+\frac{9-5}{2}[/tex3]

[tex3]\boxed{2x-(3+\sqrt{5})y=6}[/tex3]

Sistema chato: [tex3]\begin{cases}x+y=3\\2x-(3+\sqrt{5})y=6\end{cases}[/tex3]

Sistema ajeitado pra achar o y: [tex3]\begin{cases}-2x-2y=-6\\2x-(3+\sqrt{5})y=6\end{cases}[/tex3]. Somando fica [tex3]y=0[/tex3] porque o 6 cortou.

Sistema ajeitado pra achar o x: [tex3]\begin{cases}(3+\sqrt{5})x+(3+\sqrt{5})y=9+3\sqrt{5}\\2x-(3+\sqrt{5})y=6\end{cases}[/tex3]. Somando fica [tex3](5+\sqrt{5})x=15+3\sqrt{5}[/tex3]

[tex3]x=\frac{3(5+\sqrt{5})}{5+\sqrt{5}}=3[/tex3]

Resposta [tex3]\boxed{(3,0)}[/tex3].

[cesaraugusto]

Caramba Fabit vlw ; passei horas procurando um meio de resolução; mais ñ conseguia ; passei horas; é uma questão que precisa de um bom conhecimento sobre o assunto; portanto fica ai meus parabéns e obrigado pela resolução;.

[Fibonacci13]

Olá, faltou apenas as alternativas:

(A) (1,-3)

(B) (3,0)

(C) [tex3]3\sqrt{5}[/tex3]

(D) (-6,0)


Eu pensei da seguinte maneira, o ponto x com distancia igual entre 1, 6 e 3 que esta nas alternativas seria o 3, logo só resta a alternativa B e C, ai eu deduzi que fosse a B pois o 0 é o mais próximo para o ponto y, está certo desse jeito?