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No triângulo [tex3]ABC[/tex3], retângulo em [tex3]A[/tex3], da figura, [tex3]AB=c[/tex3], [tex3]AC=b[/tex3], [tex3]AM=2AH[/tex3] é a altura relativa ao lado [tex3]BC[/tex3]. Qual é a área do triângulo [tex3]AHM[/tex3] ?
(A) [tex3]\frac{bc}{b^2+c^2}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{b^2c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}[/tex3].

Ola Aldrin,

Mais uma questão que vou pedir para você olhar, não entendi direito esse teu AM=2AH é a altura relativa, dá para ver que AH e a altura relativa ao lado BC, mas AM=2AH ?

No triângulo [tex3]ABC[/tex3], retângulo em [tex3]A[/tex3], da figura, [tex3]AB=c[/tex3], [tex3]AC=b[/tex3], [tex3]AM=2[/tex3] e [tex3]AH[/tex3] é a altura relativa ao lado [tex3]BC[/tex3]. Qual é a área do triângulo [tex3]AHM[/tex3]?

Olá, Aldrin.
[tex3]PH[/tex3]---> Altura do [tex3]\Delta AHM[/tex3] em relação a base [tex3]AM[/tex3].

[tex3]BC=\sqrt{b^2+c^2}[/tex3]

Aplicando as relações métricas podemos escrever:

[tex3](AB)^2=(BC).(BH) \Rightarrow c^2=\sqrt{b^2+c^2}.BH \Rightarrow BH=\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}[/tex3]

[tex3](AC).(AB)=(BC).(AH) \Rightarrow bc=\sqrt{b^2+c^2}(AH) \Rightarrow AH=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}[/tex3]

Aplicando novamente as relações métricas podemos escrever:

[tex3](AH).(BH)=(AB).(PH) \Rightarrow \frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}.\frac{c^2}{\sqrt{b^2+c^2}}=c.(PH) \Rightarrow PH=\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex3]

[tex3]A_{\Delta AHM}=\frac{(AM).(PH)}{2}\Rightarrow A_{\Delta AHM}=\frac{2.\frac{bc^2}{b^2+c^2}}{2} \Rightarrow A_{\Delta AHM}=\frac{bc^2}{b^2+c^2}[/tex3]

Alternativa:C