IME / ITA ⇒ (AMAN - 2005) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A área de um triângulo equilátero com um vértice no ponto [tex3](0,\text{ 0})[/tex3] e os outros dois sobre a parábola [tex3]y=-3x^2[/tex3] é:

(A) [tex3]\frac{4\sqrt3}{9}[/tex3].
(B) [tex3]\frac{\sqrt3}{3}[/tex3].
(C) [tex3]\frac{2\sqrt3}{3}[/tex3].
(D) [tex3]\frac{\sqrt3}{9}[/tex3].
(E) [tex3]\frac{\sqrt3}{6}[/tex3].

[fabit]

Observemos que o vértice da parábola coincide com o do triângulo na origem (simétrica em relação ao eixo dos y).

Vou achar o vértice do 4º quadrante na forma [tex3](a,-3a^2)[/tex3] e automaticamente o outro vértice está no 3º quadrante com coordenadas [tex3](-a,-3a^2)[/tex3]. O lado do triângulo é dado por [tex3]l=2a[/tex3] e sua área será calculada fazendo [tex3]S=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}[/tex3]

Pela mesma simetria supracitada, o eixo dos y é bissetriz interna do triângulo. Assim sendo, a reta que passa pela origem e pelo vértice que procuro forma [tex3]60^\circ[/tex3] negativos com o eixo dos x: [tex3]y=-\tan(60^\circ).x=-x\sqrt{3}[/tex3]

Logo, o vértice do 4º quadrante ([tex3]a\neq0[/tex3]) satisfaz [tex3]{-3a^2}=-a\sqrt{3}[/tex3].

[tex3]3a=\sqrt{3}[/tex3]
[tex3]a=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}[/tex3]
[tex3]a^2=\frac{1}{3}[/tex3]
[tex3]S=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}[/tex3]

B