Ensino Médio ⇒ Sucessões Convergentes

[olgario]

Considere as sucessões definidas por:

[tex3]a_n\,=\,\frac{n}{n+1} \text{ e }b_n\,=\,\frac{n+1}{n}[/tex3]

1.1) __ Calcule alguns termos e represente-as geometricamente.

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1.2) __ O que pode dizer acerca dos termos da sucessão relativamente ao número 1 ?

R. __ Quando [tex3]n\,\rightarrow\,+\,\infty[/tex3],os termos das sucessões aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingirem este valor. Certo.

Agora aqui, em (1.3) surge a minha dúvida:

1.3) Mostre que :

[tex3]\frac{\,1\,}{2}\;\leq\,a_n\;\lt\,1\, ,\;\forall{}n\,\in\,N[/tex3].

e

[tex3]1\;\lt\;b_n\;\leq\;2\,,\;\forall{}\,\in\,N[/tex3].


O que é que isto quer dizer ?
Ou seja, como é que se demonstram, ou como é que se interpretam, as ditas expressões acima ?

É algo do gênero, as sucessões são convergentes porque tendem, para um número real ?

Fica a pergunta.

Agradeço desde já, a quem queira esclarecer a minha dúvida.

Atenciosamente
olgario

[Chris]

De novo uma questão que não é ensino médio....

Bom, olhando pra sequencia bn, podemos perceber que ela pode ser escrita como bn = n/n + 1/n = 1 + 1/n

Se você então colocando valores maiores de n, 1/n passa a estar cada vez mais próximo de 0. Logo, 1/n tende a zer0 (limite) e bn tende a 1.

Sendo assim, bn está entre 2 (seu valor para n = 1) e 2.

Como an é o inverso de bn, estará entre 1 e 1/2.