Ensino Médio ⇒ Problema das idades

[jclovis]

Alô amiguinhos do forum, boa noite a todos.
Essa é pra ferver os miolos:

Alguém saberia a resolução equacionada desse problema?

"Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos 4 anos. Daqui a 5 anos, a soma das nossas idades será 82 anos. Quais são as idades?
Brigado! Que Deus os ilumine cada vez mais.

[Auto Excluído (ID:276)]

Boa tarde, jclovis.

O locutor tem idade atual [tex3]x[/tex3]

O ouvinte tem idade atual [tex3]y[/tex3]

Portanto, interpretemos o problema :

"Tenho o dobro da idade que tu tinhas...''

A idade que o locutor tem é [tex3]x[/tex3]. Logo, temos um lado da primeira equação. Podemos perceber também que o segundo lado da equação será um número no qual teremos de multiplicar por 2 , pois o locutor diz ''...o dobro...''

[tex3]x = 2 (....)[/tex3]

''...que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos 4...''

O locutor relaciona a idade atual dele com a idade que o amigo já teve. Portanto, trata-se do passado, algo anos atrás. E descobrimos esses anos através desta outra parte ''...quando eu tinha a idade que tu tens menos 4''

''quando eu tinha a idade que tu tens'' . Podemos descobrir isso, através da subtração das idades atuais, pois, perceba que o tempo passa, mas a diferença entre as idades das duas pessoas permanece a mesma. Todos nós fazemos aniversário uma vez por ano, claro. Matematicamente, a frase pede o seguinte : que número devemos subtrair de [tex3]x[/tex3] para resultar em [tex3]y-4[/tex3] ( '' idade que tu tens menos 4'' ) ?

[tex3]x-a=y-4 \Rightarrow a=x-y+4[/tex3]

Através da prova real, vemos que é verdade : [tex3]x - (x-y+4) = y-4 \Rightarrow y-4 = y-4[/tex3]

Contudo, temos a primeira equação :

[tex3]x = 2( y - (x-y+4)) \Rightarrow 3x = 4y - 8 \Rightarrow 4y - 3x = 8[/tex3]

A segunda equação é fácil de traduzir :

[tex3]x+5 + y+5 = 82 \Rightarrow x + y = 72 \Rightarrow 3x + 3y = 216[/tex3]

Somando as 2 equações :

[tex3]7y = 224 \Rightarrow y = 32[/tex3]

Portanto, [tex3]x = 72 - 32 = 40[/tex3]

Agora a prova real :

O locutor diz que quando ele tinha [tex3]32-4=28[/tex3], o ouvinte tinha metade de sua idade atual. Veja que é verdade, pois quando o locutor tinha [tex3]28[/tex3], o ouvinte tinha [tex3]32 - ( 40 - 28 ) = 20[/tex3]. Veja que 40 é o dobro de 20. Espero ter ajudado, abraço!