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[tex3]ABCD[/tex3] é um losango cujas diagonais são [tex3]2a[/tex3] e [tex3]2b.[/tex3] Calcule a área do quadrilátero curvilíneo [tex3]MNPQ,[/tex3] cujos vértices são os pontos médios dos lados do losango [tex3]ABCD.[/tex3]

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Olá,

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Vemos, claramente, [tex3]4[/tex3] triângulos retângulos, cujos catetos medem [tex3]a[/tex3] e [tex3]b.[/tex3]

Assim, a hipotenusa será:

• [tex3]h^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow h = \sqrt {a^2 + b^2 }[/tex3]

Como [tex3]M, N, O[/tex3] e [tex3]P[/tex3] são pontos médios, os raios dos círculos medem:

• [tex3]r = \frac{h}{2} = \frac{ \sqrt {a^2 + b^2 } }{2}[/tex3]

Como a soma dos ângulos internos do quadrilátero é [tex3]360^\circ,[/tex3] concluímos que se juntarmos os "pedaços" (setores) circulares, formaremos um círculo completo de raio

• [tex3]r = \frac{\sqrt {a^2 + b^2 } }{2}.[/tex3]

Então, calculando as áreas:

• [tex3]A_{\text{losango}} = \frac{D \cdot d}{2} = \frac{2a \cdot 2b}{2} = 2ab \\
  A_{\text{setores}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot \left( \frac{\sqrt {a^2 + b^2 } }{2} \right)^2 = \frac{a^2 + b^2 }{4}\pi \\
  A_{\text{pedida}} = A_{\text{losango}} - A_{\text{setores}} = 2ab - \frac{a^2 + b^2 }{4}\pi[/tex3]