Ensino Médio ⇒ Problema de PG envolvendo logaritmo Tópico resolvido

[Simonelly]

Gostaria que vocês me ajudasse com este problema, pois estou com dificuldade quanto a aplicação do logaritmo na questão.Sei que é uma PG infinita, e usei a fórmula da Soma infinita mais depois não consegui concluir.

Seja S = (1/7) - (2/7^2) + (1/7^3) - (2/7^4) + (1/7^5) - (2/7^6) + ... Considerando as aproximações log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log S é um número pertencente ao intervalo:
Obs: ^2 - elevado a dois, elevado ao cubo, e assim por diante.

a) ]-oo,-2]
b) ]-2,-1]
c) ]-1,0]
d) ]0,1]
e) ]1,+oo[

[hygorvv]

Gostaria que vocês me ajudasse com este problema, pois estou com dificuldade quanto a aplicação do logaritmo na questão.Sei que é uma PG infinita, e usei a fórmula da Soma infinita mais depois não consegui concluir.

Seja S = (1/7) - (2/7^2) + (1/7^3) - (2/7^4) + (1/7^5) - (2/7^6) + ... Considerando as aproximações log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log S é um número pertencente ao intervalo:
Obs: ^2 - elevado a dois, elevado ao cubo, e assim por diante.

a) ]-oo,-2]
b) ]-2,-1]
c) ]-1,0]
d) ]0,1]
e) ]1,+oo[

arrumando [tex3]S[/tex3]
temos
[tex3]S=\(\frac{1}{7}+\frac{1}{7^{3}}+\frac{1}{7^{5}}+...\)-2\(\frac{1}{7^{2}}+\frac{1}{7^{4}}+\frac{1}{7^{6}}+...\)[/tex3]
note que temos duas somas de PG's infinitas com [tex3]|q|< 1[/tex3]
daí, vale que:
[tex3]S=\(\frac{\frac{1}{7}}{1-\frac{1}{7^{2}}}\)-2\(\frac{\frac{1}{7^{2}}}{1-\frac{1}{7^{2}}}\)[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{7}\[\(\frac{1}{1-\frac{1}{7^{2}}}\)-\(\frac{2}{7}\)\cdot\(\frac{1}{1-\frac{1}{7^{2}}}\)\][/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{7}\[\frac{49}{48}-\(\frac{2}{7}\)\cdot\(\frac{49}{48}\)\][/tex3]
[tex3]S=\frac{7}{48}\(1-\frac{2}{7}\)[/tex3]
[tex3]S=\frac{7}{48}\cdot \frac{6}{7}[/tex3]
[tex3]S=\frac{1}{8}[/tex3]
[tex3]0<S<1[/tex3]

espero que seja isso

[kthomaz]

Atenção! O amigo que respondeu acima errou a continha. Mas errou por pouco. O resultado é S=5/48. Entretanto, repare que o enunciado da questão pede log (S), ou seja, log (5/48). Muito bem, utilizando os dados log 2 ~ 0,3 e log 3 ~ 0,48, é possível aplicar as propriedades logarítimicas e estimar o intervalo de log (5/48). Experimente fazer log (5/45) e log (5/50), por exemplo. De qualquer modo, log (5/48) ~ -0,98227, portanto um número localizado entre -1 e 0.