Ensino Médio ⇒ Linguagem de Conjuntos Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:276)]

Boa tarde, galera.

A diferença entre conjuntos é definida por [tex3]A-B= \{x|x \in A e x \notin B\}[/tex3]. Determine uma condição necessária e suficiente para que se tenha [tex3]A-(B-C)=(A-B)-C[/tex3] .

Gostaria de saber se a resposta é :

[tex3]A \cap C = \emptyset \Leftrightarrow A-(B-C)=(A-B)-C[/tex3]

Alguém saberia me dizer como escrever em latex o símbolo de equivalência longo? coloquei ''long'' antes, mas deu erro. Abraço!!

[andrecaldas]

[tex3](A - B) - C = (A - B) \cap (A - C)[/tex3].
[tex3]A - (B - C) = (A - B) \cup (A \cap C)[/tex3].

Como,
[tex3](A - B) \cap (A - C) \subset (A - B) \subset (A - B) \cup (A \cap C)[/tex3],
para que sejam todos iguais, é necessário e suficiente que todos sejam iguais a [tex3]A - B[/tex3]. Ou seja,
[tex3]A \cap B^c = A - B \subset A - C[/tex3] (que equivale a [tex3]A \cap B^c \cap C = \emptyset[/tex3]), e
[tex3]A \cap C \subset A - B[/tex3] (que equivale a [tex3]A \cap C \cap B = \emptyset[/tex3]).
Isso é o mesmo que
[tex3]A \cap C = \emptyset[/tex3].

Esse jeito que eu fiz ficou meio enrolado... talvez o mais simples seja substituir logo [tex3]X - Y = X \cap Y^c[/tex3] em tudo.