IME / ITA ⇒ (Simulado ITA) Função

[poti]

Seja [tex3]f[/tex3] uma função real definida para todo [tex3]x[/tex3] real tal que [tex3]f[/tex3] é ímpar.; [tex3]f(x + y) = f(x) + f(y)[/tex3]; e [tex3]f(x) \geq 0[/tex3], se [tex3]x \geq 0[/tex3]. Definindo [tex3]g(x) = \frac{f(x) - f(1)}{x}[/tex3], sendo [tex3]x \neq 0[/tex3], e sendo [tex3]n[/tex3] um número natural, podemos afirmar que:

a) [tex3]f[/tex3] é não-decrescente e [tex3]g[/tex3] é uma função ímpar.
b) [tex3]f[/tex3] é não-decrescente e [tex3]g[/tex3] é uma função par.
c) [tex3]g[/tex3] é uma função par e [tex3]0 \leq g(n) \leq f(1)[/tex3]
d) [tex3]g[/tex3] é uma função ímpar e [tex3]0 \leq g(n) \leq f(1)[/tex3]
e) [tex3]f[/tex3] é não-decrescente e [tex3]0 \leq g(n) \leq f(1)[/tex3]

Gabarito:

Resposta

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E

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi, poti.

A função é ímpar, então [tex3]f(x) = - f(-x)[/tex3]

[tex3]f(x-y) = f(x) + f(-y)[/tex3] [tex3]\therefore[/tex3] [tex3]f(x-y) = f(x) - f(y)[/tex3]

[tex3]f(1+1) = 2f(1) = f(2)[/tex3]

[tex3]f(2+1) = f(2) + f(1) = 3f(1) = f(3)[/tex3]

Por indução, vemos que [tex3]f(x)=xf(1)[/tex3] :

[tex3]f(n) = nf(1) \Rightarrow f(n+1) = f(n) + f(1) = nf(1) + f(1) = (n+1)f(1)[/tex3]

Como, [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3] e [tex3]f(1) \geq 0[/tex3] , temos que :

[tex3]g(n) = \frac{nf(1)}{n} - \frac{f(1)}{n} = f(1) - \frac{f(1)}{n}[/tex3]

Portanto, como [tex3]f(1)\geq 0[/tex3] , conclui-se que [tex3]0 \leq g(n) \leq f(1)[/tex3]

Admitindo [tex3]x \geq y[/tex3] e como [tex3]f(1)\geq 0[/tex3] e [tex3]f(n) = nf(1)[/tex3] , temos :

[tex3]xf(1) \geq yf(1)[/tex3] , portanto ela é não-decrescente.

Creio que seja o necessário para afirmar que a letra [tex3]\boxed{\boxed{E}}[/tex3] está correta

Abraço!

[poti]

Entendi. Valeu