Pré-Vestibular ⇒ (UFC - 2007) Trigonometria: Funções Trigonométricas

[vini_scien]

Seja [tex3]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex3] a função dada por [tex3]f(x) = 2 \text{sen} x + \cos (2x).[/tex3] Calcule os valores máximo e mínimo de [tex3]f,[/tex3] bem como os números reais [tex3]x[/tex3] para os quais [tex3]f[/tex3] assume tais valores.

[matbatrobin]

Sabendo que [tex3]\cos 2x=1-\text{sen}^2x,[/tex3] obtemos

• [tex3]f(x)=-2\text{sen}^2x+2\text{sen}x+1[/tex3]

Façamos [tex3]\text{sen}x=t,[/tex3] com [tex3]{-}1\leq t\leq1.[/tex3] Logo,

• [tex3]f(t)=-2t^2+2t+1=-2\cdot \left(t^2-t-\frac{1}{2}\right)=-2\cdot \left[\left(t-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right]=\frac{3}{2}-2\cdot\left(t-\frac{1}{2}\right)^2.[/tex3]

[tex3]f(t)[/tex3] assume valor máximo igual a [tex3]\frac{3}{2}[/tex3] quando [tex3]t=\frac{1}{2},[/tex3] isto é, quando

• [tex3]\text{sen}x=\frac{1}{2}\Longrightarrow x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z} \text{ ou }x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\,k\in \mathbb{Z}.[/tex3]

Como [tex3]f(t)[/tex3] é restrita ao intervalo [tex3]{-}1\leq t\leq1,[/tex3] sendo estritamente crescente em [tex3]\left[-1,\frac{1}{2}\right[[/tex3] e estritamente decrescente em [tex3]\left]\frac{1}{2},1\right],[/tex3] segue que o mínimo de [tex3]f(t)[/tex3] é o menor dentre os números [tex3]f(-1)=-3[/tex3] e [tex3]f(1)=1.[/tex3] Logo, o valor mínimo de [tex3]f[/tex3] é [tex3]{-}3[/tex3] quando

• [tex3]\text{sen}x=-1\Longrightarrow x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi,\,k\in\mathbb{Z}.[/tex3]