IME / ITA ⇒ (ITA - 1974) Equação Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O valor absoluto da soma das duas menores raízes da equação

[tex3]x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=4[/tex3] é:

a) [tex3]2[/tex3].
b) [tex3]3[/tex3].
c) [tex3]\frac{4-\sqrt3}{2}[/tex3].
d) [tex3]4[/tex3].
e) nenhuma das respostas anteriores.

Resposta

---

b)

[hygorvv]

O valor absoluto da soma das duas menores raízes da equação

[tex3]x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=4[/tex3] é:

a) [tex3]2[/tex3].
b) [tex3]3[/tex3].
c) [tex3]\frac{4-\sqrt3}{2}[/tex3].
d) [tex3]4[/tex3].
e) nenhuma das respostas anteriores.

Resposta

---

b)

chama [tex3]x+\frac{1}{x}[/tex3] de [tex3]y[/tex3]
daí, temos
[tex3]\(x+\frac{1}{x}\)^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}+2}[/tex3]
[tex3]x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}-2[/tex3]

[tex3]y^{2}-2+y=4[/tex3]
[tex3]y^{2}+y-6=0[/tex3]
[tex3]y=2[/tex3]
[tex3]y'=-3[/tex3]

daí
[tex3]x+\frac{1}{x}=2 \to x^{2}-2x+1=0[/tex3]
[tex3]x=1[/tex3]
ou
[tex3]x+\frac{1}{x}=-3[/tex3]
[tex3]x^{2}+3x+1=0[/tex3]
[tex3]x'= \frac{1}{2}\(-3-\sqrt{5}\)[/tex3]
[tex3]x''= \frac{1}{2}\(-3+\sqrt{5}\)[/tex3]
que sao as duas menores raízes

por girard
[tex3]x'+x''=\frac{-b}{a}[/tex3]
[tex3]x'+x''=-3[/tex3]
como ele quer o valor absoluto,[tex3]3[/tex3]

espero que compreenda

[FilipeCaceres]

chamando [tex3]x+ \frac{1}{x}=y[/tex3]
Temos que [tex3]x^2+ \frac{1}{x^2}=y^2-2[/tex3], basta elevar a primeira ao quadrado.

Assim temos:

[tex3]x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}=4[/tex3]
[tex3]y^2+y-6=0[/tex3]
Que tem como raiz [tex3]y_1=2[/tex3] e [tex3]y_2=-3[/tex3]

Fazendo [tex3]x+ \frac{1}{x}=2[/tex3] e [tex3]x+ \frac{1}{x}=-3[/tex3]

Abrindo encontramos respectivamente:
[tex3]x^2-2x+1=0[/tex3]
Que tem como raiz dupla [tex3]x_{1,2}=1[/tex3]

[tex3]x^2+3x+1=0[/tex3]
Que tem como as outras duas raiz [tex3]x_3= \frac{-3+\sqrt{5}}{2}[/tex3] e [tex3]x_4= \frac{-3-\sqrt{5}}{2}[/tex3] sendo estas as menores, visto que, são valores negativos.

Logo, basta somar [tex3]x_3[/tex3] e [tex3]x_4[/tex3] onde resulta como valor [tex3]S=-3[/tex3]
Mas como no enunciado pede o valor absoluto, significa o módulo do resultado, sendo assim temos como resposta [tex3]\boxed{S=3}[/tex3]

Espero ter ajudado.