IME / ITA ⇒ (ITA - 1982) Polinômios Tópico resolvido

[bruninha]

Sabendo-se que o polinômio [tex3]P(x) \,=\, ax^3 \,+\, bx^2 \,+\, 2x\,-\,2[/tex3] é divisível por [tex3](x \,+\, 1)[/tex3] e por [tex3](x \,+\, 2)[/tex3], podemos afirmar que:

a) a e b têm sinais opostos e são inteiros
b) a e b têm o mesmo sinal e são inteiros
c) a e b têm sinais opostos e são racionais não inteiros
d) a e b têm o mesmo sinal e são racionais não inteiros
e) somente a é inteiro

[mvgcsdf]

P(-1) = 0:
-a + b -2 -2 = 0
-a + b= 4 (1)
P(-2) = 0:
8a + 4b + 2(4) -2 = 0
8a + 4b = -6 -> 4a + 2b = -3 (2)
Substituindo (1) em (2):
b = 4 + a (3)
4a + 2(4 + a) = -3
4a + 8 + 2a = -3
6a = -11
a = -11/6
b = 4 - 11/6
b = 13/6
Assim, a resposta correta é a letra C: a e b tem os sinais opostos e são racionais não inteiros (-11/6 e 13/6, respectivamente a e b).
Qualquer dúvida, é só falar.