Ensino Superior ⇒ Funções de várias variáveis Tópico resolvido

[Natan]

Seja [tex3]z=4e^{x}lny[/tex3] onde [tex3]x=ln(ucosv),\, e\, y=usenv.[/tex3] Calcule:

[tex3]a)\, \frac{\partial z}{\partial u}(2,\, \frac{\pi}{4}) \\ b)\, \frac{\partial z}{\partial v}(2,\, \frac{\pi}{4})[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

[tex3]z=4e^xlny[/tex3]

Fazendo a substituição, resulta em;

z = 4u.cos(v).ln[ u.sen(v) ]

Calculando a derivada parcial em relação a u, temos:

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}=[4u.cos(v)]'.ln[u.sen(v)]+4u.cos(v).\{ln[u.sen(v)]\}'[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}=\{4u'.cos(v)+4u[cos (v)]'\}.ln[u.sen(v)]+\frac{4\cancel{u}.cos(v).[u.s
en(v)]'}{\cancel{u}.sen(v)}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}=\{4.1.cos(v)+4u.0\}.ln[u.sen(v)]+4cotg(v).\{u'.s
en(v)+u.[sen (v)]'\}[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}=4cos(v).ln[u.sen(v)]+4cotg(v).[1.sen(v)+u.0][/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}=4cos(v).ln[u.sen(v)]+4cotg(v).sen(v)[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}=4cos(v).ln[u.sen(v)]+4cos(v)[/tex3]


Assim,

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}\left(2,\frac{π}{4}\right)=4cos\left(\frac{π}{4}\right).ln[2.sen\left(\frac{π}{4}\right)]+4cos\left(\frac{π}{4}\right)[/tex3]

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}\left(2,\frac{π}{4}\right)=4.\frac{\sqrt{2}}{2}.ln\left(2.\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+4.\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}\left(2,\frac{π}{4}\right)=2\sqrt{2}.ln\left(\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}[/tex3]

Ou

[tex3]\frac{\partial z}{\partial u}\left(2,\frac{π}{4}\right)=\sqrt{2}.ln\left(2\right)+2\sqrt{2}[/tex3]

Nota

Use o raciocínio acima para determinar [tex3]\frac{\partial z}{\partial v}[/tex3] e depois calcule [tex3]\frac{\partial z}{\partial v}\left(2,\frac{π}{4}\right)[/tex3]



Bons estudos!