IME / ITA ⇒ (Simulado IME) Geometria Plana

[Marcos]

Num triângulo retângulo [tex3]ABC[/tex3] de hipotenusa igual a [tex3]20\text{ cm}[/tex3], as medianas relativas aos catetos medem [tex3]12\text{ cm}[/tex3] e [tex3]16\text{ cm}[/tex3].Os pontos médios dessas medianas são [tex3]M[/tex3] e [tex3]P[/tex3]. Calcule o perímetro do triângulo [tex3]AMP[/tex3].

Triângulo.gif (3.23 KiB) Exibido 802 vezes

Resposta

---

Resposta: 19 cm.

[Auto Excluído (ID:276)]

Oi, Marco. Acompanhe na figura.

[tex3]\overline{AB} = 12 \Rightarrow \overline{AD}=\overline{BD}=6[/tex3]

[tex3]\overline{AC} = 16 \Rightarrow \overline{AE}=\overline{CE}=8[/tex3]

[tex3]\overline{DC} = \sqrt{6^2 + 16^2} = 2\sqrt{73} \Rightarrow \overline{DP}=\overline{PC}=\overline{AP} = \sqrt{73}[/tex3]

veja que [tex3]\overline{AP}=\sqrt{73}[/tex3] , pois é mediana da hipotenusa de [tex3]\triangle ADC[/tex3]

O mesmo se dá com [tex3]AM[/tex3] :

[tex3]\overline{BE}=\sqrt{8^2 +12^2}=4\sqrt{13} \Rightarrow \overline{BM}=\overline{ME}=\overline{AM} = 2\sqrt{13}[/tex3]

Veja que [tex3]\overline{DE}[/tex3] é a base média de [tex3]\triangle{ABC}[/tex3] . Portanto, [tex3]\overline{DE}=10[/tex3]

Trace a altura do triângulo isósceles [tex3]\triangle{AMB}[/tex3] em relação a [tex3]\overline{AB}[/tex3]. Portanto, dividirá [tex3]\overline{AB}[/tex3] ao meio sob ângulo de 90º . Portanto, [tex3]\overline{DM}[/tex3] é paralelo a [tex3]\overline{AE}[/tex3]. Então, por semelhança de triângulo, [tex3]\overline{DM}=4[/tex3] .

[tex3]\overline{MP}[/tex3] é o segmento que une a metade das diagonais de um trapézio, portanto [tex3]\overline{MP}[/tex3] está contido na reta que contém a base média do trapézio. Logo, [tex3]\overline{FG}[/tex3] é a base média do trapézio [tex3]BCDE[/tex3].

Então, [tex3]\overline{FG} = 15[/tex3]

Analisando os triângulos retângulos [tex3]\triangle{DFM}[/tex3] e [tex3]\triangle{EFG}[/tex3], chegamos a [tex3]\overline{FM} =\overline{PG}=5[/tex3]

Portanto, [tex3]\overline{MP} = 15 - 10 = 5[/tex3]

Logo, o perímetro do triângulo [tex3]\triangle{AMP}[/tex3] é igual a [tex3]\sqrt{73} + 2\sqrt{13} + 5[/tex3] .

Fazendo as contas, dá mais de 19... tem algo errado???