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Considere a função [tex3]xy=1[/tex3] com [tex3]x \geq 1.[/tex3]

a) Calcule a área situada abaixo do gráfico dessa curva.

b) Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa curva em torno do eixo x.

Observe

Solução:

A região que ele está pedindo, é a representada no gráfico abaixo:
a) A área é dada por:

[tex3]A=\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x}dx[/tex3]

Como trata-se de uma integral imprópria, então,

[tex3]A=\lim_{t \rightarrow +\infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{x}dx[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{x}dx=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}[\ln (x)]_{1}^{t}=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}[\ln (t)-\ln (1)]=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}\ln (t)=+∞[/tex3]

Logo,

[tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x}dx=+∞[/tex3]

Portanto,

[tex3]A=\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x}dx=+∞[/tex3]

A = + ∞ ( área infinita )






b) Ao rotacionar a curva do gráfico em torno do eixo dos x, o sólido que irá se formar é a conhecida trombeta de Gabriel. Então o seu volume é dado por:

[tex3]V=\int\limits_{1}^{+∞}πr^2 \ dx[/tex3] , onde [tex3]r[/tex3] é [tex3]y[/tex3] como função de [tex3]x[/tex3].

Assim,

[tex3]V=\pi\cdot \int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2} \ dx[/tex3]

[tex3]V=\lim_{t \rightarrow +\infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{x^2} \ dx[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}\int\limits_{1}^{t}\frac{1}{x^2} \ dx=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}\[-\frac{1}{x}\]_{1}^{t}=[/tex3]

[tex3]\lim_{t \rightarrow +\infty}\left(-\frac{1}{t}+1\right)=0+1=1[/tex3]

Logo,

[tex3]\int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2} \ dx=1[/tex3]

Portanto,

[tex3]V=\pi\cdot \int\limits_{1}^{+∞}\frac{1}{x^2} \ dx=\pi\cdot 1=π[/tex3]

V = π u.v.



Bons estudos!