IME / ITA ⇒ EsPCEX - Logarítmos Tópico resolvido

[guigregory]

A soma de dois números reais é igual a 7 e a soma de seus logarítmos na base 100 é 1/2. O módulo da diferença entre esses dois números é igual a?

[FilipeCaceres]

Vamos interpretar o enunciado:

A soma de dois números reais é 7:

a+b = 7

A soma dos seus logaritmos na base 100 é [tex3]\frac{1}{2}:[/tex3]

[tex3]\log_{100} a + \log_{100} b = \frac{1}{2}[/tex3]

Agora vamos trabalhar com essas informações. A primeira equação não há muito o que fazer, já a segunda pode ser melhorada:

[tex3]\log_{100} a + \log_{100} b = \frac{1}{2} \rightarrow \log_{100} (a \cdot b) = \frac{1}{2}[/tex3]

Lembrando a definição de logaritmos [tex3](\log_x z = w \Leftrightarrow x^w = z[/tex3], com as restrições):

[tex3]ab = 100^{\frac{1}{2}} \rightarrow ab = \sqrt{100} = 10[/tex3]

Então temos duas equações:

[tex3]a+b=7[/tex3]
[tex3]ab=10[/tex3]

Do segundo tiramos,
[tex3]ab= 10 \rightarrow b=\frac{10}{a}[/tex3]

Substituindo na primeira:
[tex3]a+b =7 \rightarrow a + \frac{10}{a} = 7 \rightarrow a^2 +10 = 7a \rightarrow a^2 -7a +10 = 0[/tex3]

Posso fazer isso pois é certeza que [tex3]a\neq 0[/tex3] Então:

[tex3]\Delta = (-7)^2 -4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9[/tex3]

[tex3]a = \frac{-b \pm \sqrt {\Delta}}{2a} = \frac{- (-7) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}[/tex3]

Respostas: [tex3]a = 5[/tex3] e [tex3]b = 2[/tex3] ou [tex3]a = 2[/tex3] e [tex3]b = 5[/tex3].

Assim
[tex3]|5-2| = |2-5| = 3[/tex3]

logo a resposta é [tex3]\boxed{3}[/tex3].

Espero que seja isto.

[guigregory]

é isso ai msm, valeu ae